从特定分位数计算总和的分位数

假设 $N$ 独立随机变量 $X_1, ..., X_N$ 在特定水平上的分位数 $\alpha$ 通过数据估算可知： $\alpha = P(X_1 < q_1)$，...， $\alpha = P(X_N < q_N)$。现在让我们定义随机变量$Z$ 作为总和 $Z = \sum_{i=1}^N X_i$。有没有一种方法可以计算水平上总和的分位数的值$\alpha$， 那是， $q_z$ 在 $\alpha = P(Z < q_Z)$？

我认为在某些情况下，例如 $X_i$ 遵循高斯分布 $\forall i$ 这很简单，但对于这种情况的分布情况，我不确定 $X_i$未知。有任何想法吗？

$q_Z$ 可以是任何东西。

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要了解这种情况，让我们进行初步简化。通过与$Y_i = X_i - q_i$ 我们获得了更统一的特征

$$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$$

即，每个具有相同的负概率。因为$Y_i$

$$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$$

的定义方程等价于$q_Z$

$$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$$

其中。$q_Z = q_W + \sum_i q_i$

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的可能值是？考虑以下情况：在两个值上都具有相同的概率分布，其中一个为负（，另一个为正（）。对于总和的可能值限制为。这些都以概率发生$q_W$$Y_i$$y_{-}$$y_{+}$$W$$ky_{-} + (n-k)y_{+}$$k=0, 1, \ldots, n$

$${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$$

极端情况可以通过以下方式找到

1. 选择和使得 ; 和将完成此任务。这保证了 将为负，除非所有为正。机会等于。当，它超过了，这意味着的分位数必须严格为负。$y_{-}$$y_{+}$$y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$$y_{-}=-n$$y_{+}=1$$W$$Y_i$$1 - (1-\alpha)^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

2. 选择和以使 ; 和将完成此操作。这保证了仅当所有为负时才为负。机会等于。当，它小于，这意味着的分位数必须严格为正。$y_{-}$$y_{+}$$(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$$y_{-}=-1$$y_{+}=n$$W$$Y_i$$\alpha^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

这表明的分位数可以为负也可以为正，但不为零。它的大小是多少？它必须等于和某些整数线性组合。将这两个值都设为整数可确保所有可能值都是整数。将按任意正数缩放，我们可以保证和所有整数线性组合 都是整数倍。由于，它大小必须至少为。所以，$\alpha$$W$$y_{-}$$y_{+}$$W$$y_{\pm}$$s$$y_{-}$$y_{+}$$s$$q_W \ne 0$$s$$q_W$$q_Z$无论等于多少，的可能值（以及）都是无限的。$n\gt 1$

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得出有关任何信息的唯一方法是对的分布进行特定且约束，以防止和限制用于得出此负结果的不平衡分布的种类。$q_Z$$X_i$