连续变量的条件概率

假设随机变量遵循具有参数0至10的连续均匀分布（即） $U$ $U \sim \rm{U}(0,10)$

现在，我们将A表示 = 5的事件和B表示等于或6的事件。根据我的理解，这两个事件的发生概率均为零。 $U$ $U$ $5$

现在，如果我们考虑到计算，我们不能使用条件法律 $P(A|B)$ ，因为等于零。然而，我的直觉告诉我，。 $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ $P(B)$ $P(A|B) = 1/2$

conditional-probability continuous-data uniform

— 菜鸟
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什么将你的直觉告诉你，如果

有不均匀密度

？

U

$U$

0.02 u, u \in (0, 10)

$0.02u, u \in (0,10)$

— Dilip Sarwate'Feb

@DilipSarwate我的直觉告诉我答案是一个稍微低于0.5的数字

— Noob 2015年

Answers:

“关于概率等于0的孤立假设的条件概率的概念是不允许的。” 柯尔莫哥洛夫

对于连续随机变量，和说，条件分布由属性定义，它们恢复原始概率测度，即，对于所有可测量的套，， $X$ $Y$ $A\in\mathcal{B}(\mathbf{X})$ $B\in\mathcal{B}(\mathbf{Y})$ 意味着条件密度是在零个度量集上任意定义的，换句话说，条件密度几乎在所有地方都定义。由于集是测量零兑Lebesgue测度，这意味着可以同时定义和在绝对任意方式，因此，该概率

P (X \in A, Y \in B) = \int_{B} d P_{Y} (y) \int_{B} d P_{X | Y} (x | y)

$\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\int_B \text{d}P_Y(y) \int_B \text{d}P_{X|Y}(x|y)$

p_{X | Y} (x | y)

$p_{X|Y}(x|y)$

{5, 6}

$\{5,6\}$

p (5)

$p(5)$

p (6)

$p(6)$

可以取任何值。

P (U = 5 | U \in {5, 6})

$\mathbb{P}(U=5|U\in\{5,6\})$

这并不意味着您不能像双变量正常情况那样通过比率公式来定义条件密度，而是简单地，几乎只在这两个位置上都定义了密度和。

f (y | x) = f (x, y) / f (x)

$f(y|x)=f(x,y)\big/f(x)$

x

$x$

y

$y$

“在那些本能的概率论者之间，对于这些结果中的哪一项是'正确'的，许多毫无用处的争论激怒了。” ET杰恩斯

$\epsilon$

X, Y \overset{i.i.d.}{\sim} N (0, 1)

$X,Y\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathcal{N}(0,1)$ $X$ $X=Y$

$\varphi(x)\varphi(y)$ $\varphi(x)^2$

(x, t) = (x, y - x) \sim φ (x) φ (t + x)

$(x,t)=(x,y-x) \sim \varphi(x)\varphi(t+x)$

T = Y - X

$T=Y-X$

φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}

$\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}$

f (x | t) = \frac{φ (x) φ (t + x)}{φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}}

$f(x|t)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(t+x)}{\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}}$

f (x | t = 0) = \frac{φ (x) φ (x)}{φ (0 / \sqrt{2}) / \sqrt{2}} = φ (x)^{2} \sqrt{2}

$f(x|t=0)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(x)}{\varphi(0/\sqrt{2})/\sqrt{2}}=\varphi(x)^2\sqrt{2}$

(x, r) = (x, y / x) \sim φ (x) φ (r x) | x |

$(x,r)=(x,y/x) \sim \varphi(x)\varphi(rx)|x|$

R = Y / X

$R=Y/X$

ψ (r) = 1 / π {1 + r^{2}}

$\psi(r)=1/\pi\{1+r^2\}$

X

$X$

R

$R$

f (x | r) = φ (x) φ (r x) | x | \times π {1 + r^{2}}

$f(x|r)=\varphi(x)\varphi(rx)|x| \times \pi \{1+r^2\}$

f (x | r = 1) = π φ (x)^{2} | x | / 2 .

$f(x|r=1)= \pi\varphi(x)^2|x|/2\,.$

R = 1

$R=1$

T = 0

$T=0$

X = Y

$X=Y$

X

$X$

— 西安
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这是完全错误的。如果您对概率论进行了严格的学习，您将发现对测度为零的事件进行条件调整是可行且实用的。考虑二元高斯。每个人都知道您可以对第一个变量取值为零的条件，尽管此事件的可能性为零。参见维基百科。en.wikipedia.org/wiki/...

— 亚伊尔Daon公司

这是一个有争议的答案：

西安是对的，您不能以零概率处理事件。但是，Yair也是对的，一旦您决定了一个限制过程，就可以评估一个概率。问题在于，有许多限制过程会达到所需条件。

$(1, 11)$ $p$ $1-p$

请注意，许多统计学家不接受冷漠原则。我喜欢它，因为它反映了我的直觉。尽管我并不总是确定如何应用它，但也许在50年后它将成为主流？

— 尼尔·G
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[0, 10]

$[0,10]$

5

$5$

0

$0$

6

$6$

\sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}

$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$

@whuber：翻转参数对柯西分布不起作用，除非您翻转其模式。

— Neil G

当然可以：有很多方法可以将一个连续分布转换为另一个可以交换两个值的分布。实际上，您的“翻转”甚至没有保留原始分发。（它完全改变了它的支持。）因此，看来您要做的就是将一个发行版替换为另一个发行版。似乎根本没有任何原理可操作。

— ub

@whuber：它取代另一个，其中一个分布的5和6的周围均匀区域没有变化 -以同样的方式我认为缩小试图离开密度在原圈不变的贝特朗悖论。

— Neil G

@whuber：你是对的。我真的很喜欢Potato对我的一个问题的回答。我个人认为，如果理论与直觉之间存在差异，我们应该寻求新的，更完整的理论。也许“冷漠原则”不太正确，或者通常不可行，但是我很自然地希望概率论能够回答我们具有直觉理解的问题。也许勒贝格在创建积分时对黎曼积分有同样的焦虑？

— Neil G

$A = [5 - \frac{\epsilon}{2} , 5 + \frac{\epsilon}{2}]$ $B = [5 - \frac{\epsilon}{4} , 5 + \frac{\epsilon}{4}] \cup [6 - \frac{\epsilon}{4} , 6 + \frac{\epsilon}{4}]$ $\epsilon \to 0$

$(X_1, X_2) \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $X_1$ $X_2 = 0$ $P(\xi = a) = 0$

因此，是的，您可以赋予条件以零度量为条件。

— 耶尔·道恩
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U \sim U [0, 10]

$U\sim \text{U}[0,10]$

0

$0$

10

$10$

A = {0}

$A=\{0\}$

B = {0, 6}

$B=\{0,6\}$

P (A | B) = 1 / 2

$P(A|B)=1/2$

[0, 10]

$[0,10]$

1 / 3

$1/3$

5

$5$

0

$0$

0

$0$

ε

$\varepsilon$

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u}{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u + \int_{6 - \frac{ε}{4}}^{6 + \frac{ε}{4}} f (u) d u} = \frac{\frac{ε}{2}}{\frac{ε}{2} + \frac{ε}{2}} = 0.5

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }}{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} + \int\limits_{6 - \frac{\varepsilon }{4}}^{6 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }} = \frac{{\frac{\varepsilon }{2}}}{{\frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2}}} = 0.5$

[5 - \frac{ε}{8}, 5 + \frac{ε}{8}]

$\left[ {5 - \frac{\varepsilon }{8},5 + \frac{\varepsilon }{8}} \right]$

\frac{1}{8}

${\frac{1}{8}}$

通过显示没有唯一的答案，这对于直觉非常有用：这是@西安引用的Kolmogorov声明的基础。您必须更改程序以使事情出现的事实，因为您认为它们应该提醒您这种方法的问题。

— ub

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} = 0

$X_1=0$