我一直被告知CDF是唯一的,但是PDF / PMF不是唯一的,为什么呢?您能否举一个PDF / PMF不唯一的示例?
我一直被告知CDF是唯一的,但是PDF / PMF不是唯一的,为什么呢?您能否举一个PDF / PMF不唯一的示例?
Answers:
让我们回顾一些事情。令为一个概率空间,为我们的样本集,为我们的代数,为在定义的概率函数。甲随机变量是可测量的功能即任何勒贝格可测子集。如果您不熟悉这个概念,那么我以后所说的一切都将毫无意义。Ω 甲σ P 甲X :Ω →交通- [R X - 1(小号)∈ 甲ř
每当我们有一个随机变量,它就会通过绝对前推在上引发概率度量。换句话说,。检验是上的概率度量是微不足道的。我们称为的分布。X ' - [R X '(小号)= P (X - 1(小号))X ' - [R X ' X
现在与此概念相关的是一种称为函数变量的分布函数的事物。给定一个随机变量我们定义。分布函数具有以下属性: ˚F (X )= P (X ≤ X )˚F :- [R → [ 0 ,1 ]
是右连续的。
不减
˚F (- ∞ )= 0且。
显然,相等的随机变量具有相同的分布和分布函数。
用给定的分布函数逆转该过程并获得度量是非常技术性的。假设您有一个分布函数。定义。您必须证明是间隔的半代数上的度量。然后,您可以应用Carathéodory扩展定理,将扩展为上的概率测度。μ (一个,b ] = ˚F (b )- ˚F (一)μ (一个,b ] μ ř
我不同意您在开头的问题中所说的陈述“概率分布函数不能唯一地确定概率测度”。它确实确定了它。
令是两个概率质量函数。如果, 对于任何可测量的集合则几乎在所有地方。这唯一地确定了pdf(因为在分析中我们不在乎它们是否在一组零度量上存在分歧)。∫ Ë ˚F 1 = ∫ ë ˚F 2 ë ˚F 1 = ˚F 2
我们可以将上述积分重写为 其中是可积分函数。克= ˚F 1 - ˚F 2
定义,因此。我们使用众所周知的定理,即如果一个非负函数的积分为零,那么该函数几乎在所有地方都为零。特别地,上 ae 。所以 ae在。现在在另一个方向重复该参数,其中。我们将在上得到 ae 。因此,上的 ae 。∫ Ê克= 0 克= 0 ë ˚F 1 = ˚F 2 ë ˚F = { X ∈ [R | 克≤ 0 } ˚F 1 = ˚F 2 ˚F ˚F 1 = ˚F 2 ë ∪ ˚F = - [R