为什么累积分布函数(CDF)唯一定义分布?


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我一直被告知CDF是唯一的,但是PDF / PMF不是唯一的,为什么呢?您能否举一个PDF / PMF不唯一的示例?


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[0,1](0,1) 0 < Ĵ 2 - < 1 1 ĴPr(j2i)=212i0<j2i<1i1j

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并非所有发行版都具有PDF或PMF,而查看CDF可以使事物统一化。连续变量具有平滑的CDF,离散变量具有“阶梯”,并且某些CDF是混合的。
银鱼

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@Silverfish:...其中一些都不是!:-)
红衣主教

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为了解决标题(可能有些松散),CDF定义了一个分布,因为CDF(或等效地只是DF /'distribution function';“ C”仅用于阐明我们正在谈论的对象)是术语“分配”的字面意思是;“ D”是该部分的线索。从“ F”开始,它是唯一的-函数是单值的,因此,如果两个分布函数相同,则它们定义的对象相同;如果DF在任何地方都不同,那么在这些点上它们所定义的事物将有所不同。这是重言式吗?我觉得是这样的。
Glen_b-恢复莫妮卡2015年

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@Glen_b仅对受过训练的直觉是重言式的。分布函数仅给出形式为的概率,而整个分布则指定形式为对于任意可测量集您必须显示确定正如NicholasB所指出的,这是从半开环(半开间隔)\ mu((a,b])= F(b)-F(a)扩展预测的问题,充分勒贝格Σ-场和展示它的独特。˚F X = { ω &Element; ΩFF(x)=Pr{ωΩ|X(ω)x}ř ˚F μ 一个b ] = ˚F b - ˚F Pr({ωΩ|X(ω)B}BRFμ((a,b])=F(b)F(a)
whuber

Answers:


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让我们回顾一些事情。令为一个概率空间,为我们的样本集,为我们的代数,为在定义的概率函数。甲随机变量是可测量的功能即任何勒贝格可测子集。如果您不熟悉这个概念,那么我以后所说的一切都将毫无意义。Ω σ P X Ω →交通- [R X - 1小号ř(Ω,A,P)ΩAσPAX:ΩRX1(S)AR

每当我们有一个随机变量,它就会通过绝对前推在上引发概率度量。换句话说,。检验是上的概率度量是微不足道的。我们称为的分布X ' - [R X '小号= P X - 1小号X ' - [R X ' XX:ΩRXRX(S)=P(X1(S))XRXX

现在与此概念相关的是一种称为函数变量的分布函数的事物。给定一个随机变量我们定义。分布函数具有以下属性: ˚F X = P X X ˚F - [R[ 0 1 ]X:ΩRF(x)=P(Xx)F:R[0,1]

  1. F右连续的

  2. F不减

  3. ˚F - = 0F()=1且。F()=0

显然,相等的随机变量具有相同的分布和分布函数。

用给定的分布函数逆转该过程并获得度量是非常技术性的。假设您有一个分布函数。定义。您必须证明是间隔的半代数上的度量。然后,您可以应用Carathéodory扩展定理,将扩展为上的概率测度。μ 一个b ] = ˚F b - ˚F μ 一个b ] μ řF(x)μ(a,b]=F(b)F(a)μ(a,b]μR


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这是一个很好的答案,但可能会无意间使事情变得模糊。主要问题似乎表明,具有相同分布函数的两个度量实际上是相等的。这需要无非Dynkin的 -定理和事实,即集的形式的形成一个生成该波雷尔-System。代数然后,密度的非唯一性(假定它的存在),也可以与上述加以解决和对比!λ - b ] π σπλ(,b]πσ
卡迪纳尔

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(一个额外的次要问题:随机变量通常是根据Borel集而不是Lebesgue集来定义的。)我认为通过一些次要编辑,这个答案将变得很清楚。:-)
红衣主教

@cardinal我首先考虑分析,其次是概率。因此,这可以解释为什么我更喜欢Lebesgue集。无论哪种情况,它都不会影响所说的内容。
Nicolas Bourbaki 2015年

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为了回答具有相同整数(即具有相同分布函数)的两个密度的示例,请考虑在实数上定义的以下函数:

 f(x) = 1 ; when x is odd integer
 f(x) = exp(-x^2)  ; elsewhere

接着;

 f2(x) = 1  ; when x is even integer
 f2(x) = exp(-x^2) ;  elsewhere

它们根本不等于x,但是对于相同的分布来说都是密度,因此密度不是由(累积)分布唯一地确定的。当具有实域的密度仅在一组可数的x值上不同时,则积分将相同。数学分析并非真正适合胆小的人或确定的具体头脑。


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我不同意您在开头的问题中所说的陈述“概率分布函数不能唯一地确定概率测度”。它确实确定了它。

令是两个概率质量函数。如果, 对于任何可测量的集合则几乎在所有地方。这唯一地确定了pdf(因为在分析中我们不在乎它们是否在一组零度量上存在分歧)。 Ë ˚F 1 = ë ˚F 2 ë ˚F 1 = ˚F 2f1,f2:R[0,)

Ef1=Ef2
Ef1=f2

我们可以将上述积分重写为 其中是可积分函数。= ˚F 1 - ˚F 2

Eg=0
g=f1f2

定义,因此。我们使用众所周知的定理,即如果一个非负函数的积分为零,那么该函数几乎在所有地方都为零。特别地,上 ae 。所以 ae在。现在在另一个方向重复该参数,其中。我们将在上得到 ae 。因此,上的 ae 。Ê= 0 = 0 ë ˚F 1 = ˚F 2 ë ˚F = { X [R | 0 } ˚F 1 = ˚F 2 ˚F ˚F 1 = ˚F 2 ë ˚F = - [RE={xR | g0}Eg=0g=0Ef1=f2EF={xR | g0}f1=f2Ff1=f2EF=R

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