不可衡量的事件的概率

从测度理论中我们知道，有些事件是无法测度的，也就是说，它们是不可测量的。我们怎么称呼没有定义概率度量的事件？我们将对此类事件做出哪些类型的陈述？

probability estimation

— 血吸虫病
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这不计算。也许我需要咖啡，或者我读错了。在未定义度量函数与不可度量的集合之间存在差异。如果问题与功能有关，则仅是未定义功能的地方。但这并不排除定义函数的可能性，并且该函数是有效的概率度量。

— Iterator

如果没有选择公理就无法建立不可测量的集合，那么您如何建议知道是否发生了不可测量的特定事件？

— 亨利

@亨利：OP可能仅指术语。至于我如何指称这样的事件，我将不得不调用道格拉斯·亚当斯的《无限可能性》。或称它为“白女王”现象，因为她可以在早餐前相信6种不可能的事情。:)

— Iterator

正如枢机主教指出的那样，不可测集在概率论中被广泛使用。van der Vaart 的《弱收敛和经验过程》一书很好地介绍了这一点。读这本书需要具有相当的数学背景，但是在我看来，所提出的理论是美丽的。

— mpiktas 2011年

您是否只对涉及Lebesgue测度的结果感兴趣，或者更感兴趣的是在概率论框架内？与会者之间对此似乎有些怀疑。

— 主教

Answers:

正如我在评论中所述，如何处理这些类型的事件（不可测量的集合）在本书中进行了描述：A. van der Vaart和A. Wellner的弱收敛和经验过程。您可以浏览前几页。

如何处理这些集合的解决方案非常简单。用可测量的集合近似它们。因此，假设我们有一个概率空间。对于任何集合定义外部概率（在本书第6页中）： $(\Omega,\mathcal{A},P)$ $B$

P^{*} (B) = inf {(P (A), B \subset A, A \in A}

$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$

事实证明，您可以用这种定义建立一个非常富有成果的理论。

— mpiktas
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尽管我不是经验过程理论方面的专家，但我的印象是，使用外部概率并不是基于将概率分配给不可测集合的愿望，而是因为您不想经历麻烦实际上一直在证明可测量性。而且，如果您可以没有富比尼定理之类的东西生活，那么您基本上不会仅通过计算外部概率来放松任何事情。

— NRH

编辑：根据枢机主教的评论：我在下面只说说关于勒贝格措施（一项完整的措施）。重读您的问题，看来这也是您要问的问题。在一般的Borel测度情况下，可能可以将测度扩展到包括您的集合（Lebesgue测度无法做到这一点，因为它已经足够大了）。

此类事件的可能性将无法确定。期。就像没有为（非实数）复数定义实值函数一样，概率度量是在可测量集合上定义的，而不是在不可测量集合上定义的。

那么我们可以对这种事件做出什么陈述呢？好吧，对于初学者而言，必须使用选择公理定义此类事件。这意味着排除了我们可以通过某些规则描述的所有集合。即，我们通常感兴趣的所有集合都被排除在外。

但不能说一些关于非可测量事件的概率是多少？在上面放东西吗？Banach-Tarski的悖论表明这是行不通的。如果Banach-Tarski分解球体的有限数量的度量具有上限（例如，球体的度量），那么通过构造足够多的球体，我们将陷入矛盾。向后看类似的论点，我们看到片段不能具有非平凡的下界。

尽管我相信一个比我聪明的人应该提出一个论点，表明我们不能以任何一致的方式将任何非平凡的边界置于“量度”，但我并没有证明所有不可测的集合都存在这个问题。 ”的任何不可衡量的集合（对社区的挑战）。

总而言之，我们无法对此类集合的概率度量做出任何陈述，这不是世界末日，因为所有相关集合都是可测量的。

— 哈尔
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这是一个有趣的答案，内容丰富。但是，您可能过于关注Lebesgue的可测量性。不可测集在概率论中更为普遍。

— 主教

已经有了不错的答案，但让我提出另一点意见。勒贝格措施通常被认为是对勒贝格代数，这是完整的，并且，正如已经指出的那样，我们需要选择公理建立勒贝格不可测量套。在一般概率论中，尤其是在随机过程中，显然不可能使代数完成相关的工作，并且不可测量的事件很少发生。从某种意义上说，上的Borel代数和Lebesgue代数之间的间隙比Lebesgue代数中没有的奇异集更有趣。 $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathbb{R}$ $\sigma$

我最常看到的与该问题相关的问题是，一个集合（或一个函数）可能显然无法测量。在某些情况下，您可以证明它确实是，但是可能很难，在另一些情况下，仅当您通过某种度量的空集扩展代数时，才可以证明它是可测量的。为了研究Borel代数在拓扑空间上的扩展，您经常会遇到所谓的Souslin集或解析集，它们不必是Borel可测量的。 $\sigma$ $\sigma$

— NRH
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