令是具有标准边际和相关的二元正态PDF 。根据定义,最大的CDF为(X ,ÿ )ρFρ(X,Y)ρ
Pr (最大值(X,Y)≤ ž)= Pr (X≤ ž,Y ≤ ž)= ∫ž- ∞∫ž- ∞Fρ(x ,y)dÿdX 。
二元法线PDF围绕对角线对称(通过反射)。因此,将增加到会在原始半无限平方中添加两条等价的概率带:无限厚的上半部为而其反射的对应项为右侧条带是。ž + d ž (- ∞ ,ž ] × (Ž ,ž + d ž ] (Ž ,ž + d ž ] × (- ∞ ,ž ]žž+ dž(- ∞ ,ž] × (z,ž+ dž](z,ž+ dž] × (- ∞ ,ž]
右侧条带的概率密度是在处的密度乘以在条带中的总条件概率。的条件分布始终为正态,因此要找到此总条件概率,我们只需要均值和方差即可。在处的条件均值是回归预测,条件方差是“无法解释的”方差。ž Ÿ 镨(ÿ ≤ žXžÿý ý X ρ X 变种(Ý )- 变种(ρ X )= 1 - ρ 2镨(ÿ≤ ž|X= z)ÿÿXρ XVAR (ÿ)- VAR (ρ X)= 1 - ρ2
现在我们知道了条件均值和方差,可以通过标准化并应用标准Normal CDF来获得给定的的条件CDF :X ÿ ΦÿXÿΦ
镨(ÿ≤ ÿ|X)= Φ (y−ρX1−ρ2−−−−−√).
在评估该和,并由的密度乘以在(一个标准的普通PDF)给出了第二的概率密度(右手)条X = z X z ϕy=zX=zXzϕ
ϕ(z)Φ(z−ρz1−ρ2−−−−−√)=ϕ(z)Φ(1−ρ1−ρ2−−−−−√z).
将这加倍会考虑等概率的上部带,将最大的PDF作为
ddzPr(max(X,Y)≤z)=2ϕ(z)Φ(1−ρ1−ρ2−−−−−√z).
概括
我已经为代表其起源的因素上色了:两个对称条带的;表示最小的条带宽度;和表示条带长度。后者,所述的参数,仅仅是一个标准化的版本有条件的。2ϕ(z)Φ(⋯)1−ρ1−ρ2√zY=zX=z