两个相关正态变量最大值的分布


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根据Nadarajah和Kotz,2008年两个高斯随机变量的最大值/最小值的精确分布X = \ max(X_1,X_2)的PDF X=max(X1,X2)似乎是

FX=2ϕXΦ1个-[R1个-[R2X

其中ϕ是PDF,Φ是标准正态分布的CDF。

在此处输入图片说明


如果(完全没有相关性),那会是什么样?我在可视化上遇到了麻烦。[R=0
米奇

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我添加了一个形象化的分布图。看起来像是挤压的高斯略微偏向右侧。
卢卡斯2015年

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令是具有标准边际和相关的二元正态PDF 。根据定义,最大的CDF为X ÿ ρFρXÿρ

最高Xÿž=Xž ÿž=-ž-žFρXÿdÿdX

二元法线PDF围绕对角线对称(通过反射)。因此,将增加到会在原始半无限平方中添加两条等价的概率带:无限厚的上半部为而其反射的对应项为右侧条带是。ž + d ž - ž ] × Ž ž + d ž ] Ž ž + d ž ] × - ž ]žž+dž-ž]מž+dž]žž+dž]×-ž]

数字

右侧条带的概率密度是在处的密度乘以在条带中的总条件概率。的条件分布始终为正态,因此要找到此总条件概率,我们只需要均值和方差即可。在处的条件均值是回归预测,条件方差是“无法解释的”方差。ž Ÿ ÿ žXžÿý ý X ρ X 变种Ý - 变种ρ X = 1 - ρ 2ÿž|X=žÿÿXρX变种ÿ-变种ρX=1个-ρ2

现在我们知道了条件均值和方差,可以通过标准化并应用标准Normal CDF来获得给定的的条件CDF :X ÿ ΦÿXÿΦ

Pr(Yy|X)=Φ(yρX1ρ2).

在评估该和,并由的密度乘以在(一个标准的普通PDF)给出了第二的概率密度(右手)条X = z X z ϕy=zX=zXzϕ

ϕ(z)Φ(zρz1ρ2)=ϕ(z)Φ(1ρ1ρ2z).

将这加倍会考虑等概率的上部带,将最大的PDF作为

ddzPr(max(X,Y)z)=2ϕ(z)Φ(1ρ1ρ2z).

概括

我已经为代表其起源的因素上色了:两个对称条带的;表示最小的条带宽度;和表示条带长度。后者,所述的参数,仅仅是一个标准化的版本有条件的。2ϕ(z)Φ()1ρ1ρ2zY=zX=ž


是否可以将其扩展到具有给定相关矩阵的两个以上标准正态变量?
A. Donda

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@ A.Donda是的-但是表达式变得更加复杂。每个新维度都需要再次集成。
whuber
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