两个相关正态变量最大值的分布

假设我有两个标准正态随机变量和，它们的正态联合且相关系数为。X $X_1$$X_2$$r$

的分布函数是什么？$\max(X_1, X_2)$

根据Nadarajah和Kotz，2008年，两个高斯随机变量的最大值/最小值的精确分布，X = \ max（X_1，X_2）的PDF $X = \max(X_1, X_2)$似乎是

$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$

其中$\phi$是PDF，$\Phi$是标准正态分布的CDF。

$\hskip2in$

令是具有标准边际和相关的二元正态PDF 。根据定义，最大的CDF为（X ，ÿ ）$f_\rho$$(X,Y)$$\rho$

$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$

二元法线PDF围绕对角线对称（通过反射）。因此，将增加到会在原始半无限平方中添加两条等价的概率带：无限厚的上半部为而其反射的对应项为右侧条带是。ž + d ž （- ∞ ，ž ] × （Ž ，ž + d ž ] （Ž ，ž + d ž ] × （- ∞ ，ž $z$$z+dz$$(-\infty, z]\times (z, z+dz]$$(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

右侧条带的概率密度是在处的密度乘以在条带中的总条件概率。的条件分布始终为正态，因此要找到此总条件概率，我们只需要均值和方差即可。在处的条件均值是回归预测，条件方差是“无法解释的”方差。ž Ÿ 镨（ÿ ≤ $X$$z$$Y$ý ý X ρ X 变种（Ý ）- 变种（ρ X ）= 1 - ρ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$$Y$$Y$$X$$\rho X$$\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

现在我们知道了条件均值和方差，可以通过标准化并应用标准Normal CDF来获得给定的的条件CDF ：X ÿ $Y$$X$$Y$$\Phi$

$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$

在评估该和，并由的密度乘以在（一个标准的普通PDF）给出了第二的概率密度（右手）条X = z X z $y=z$$X=z$$X$$z$$\phi$

$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$

将这加倍会考虑等概率的上部带，将最大的PDF作为

$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$

概括

我已经为代表其起源的因素上色了：两个对称条带的；表示最小的条带宽度；和表示条带长度。后者，所述的参数，仅仅是一个标准化的版本有条件的。$\color{blue}2$$\color{black}{\phi(z)}$$\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$$\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$$Y=z$$X=z$