用很小的样本量（例如n = 6）测试正态性是否有意义？

我的样本大小为6。在这种情况下，使用Kolmogorov-Smirnov检验来检验正态性是否有意义？我使用了SPSS。我的样本量很小，因为获取每个样本都需要时间。如果没有意义，那么最低数量的样本中有多少个是有意义的测试？

注意： 我做了一些与源代码有关的实验。该样本是在一个版本的软件（版本A）中编码所花费的时间。 实际上，我的样本量为6，这是在另一个版本的软件（版本B）中所编码的时间。

我想使用一样本t检验进行假设检验，以测试在代码版本A中花费的时间与在代码版本B中花费的时间是否不同（这是我的H1）。一次样本t检验的前提是要测试的数据必须正态分布。这就是为什么我需要测试正常性。

是。

所有的假设检验有两个显着的特性：其大小（或“显着性水平”），其中一些直接关系到信心和预期的假阳性率，他们的力量，表达假阴性的机会。当样本量很小并且您继续坚持小样本量（高置信度）时，功效会变差。这意味着小样本测试通常无法检测到较小或中等的差异。 但是它们仍然有意义。

KS测试评估样本是否似乎来自正态分布。六个值的样本实际上必须看起来非常不正常，才能通过此测试。但是，如果这样做的话，您可以像对较大样本量的解释那样完全解释对null的拒绝。另一方面，如果测试未能拒绝原假设，那么由于假阴性率很高，这告诉您的信息很少。尤其是，如果基础分布为正态分布，则相对会有风险。

在此还要注意的另一件事：某些软件使用近似值来根据测试统计信息计算p值。通常，这些近似值适用于大样本量，但对于很小的样本量效果不佳。在这种情况下，您不能相信已经正确计算了p值，这意味着您无法确定已达到所需的测试大小。有关详细信息，请查阅软件说明文件。

一些建议： KS测试对于正常性测试的功能远不如为此目的而专门构建的其他测试。其中最好的可能是Shapiro-Wilk测试，但其他常用且功能强大的Shapiro-Francia和Anderson-Darling也是如此。

此图显示了六个正态分布变量的10,000个样本中的Kolmogorov-Smirnov检验统计量的分布：

基于100,000个额外的样本，较高的第95个百分位数（估计该统计值对于的检验的临界值）为0.520。通过此测试的样本示例是数据集$\alpha=5\%$

0.000, 0.001, 0.002, 1.000, 1.001, 1000000

测试统计信息为0.5（小于临界值）。使用其他正态性检验将拒绝此类样本。

正如@whuber在评论中所问，这是对我的绝对NO。的验证。编辑：使用shapiro测试，因为实际上错误地使用了单样本ks测试。Whuber是正确的：为了正确使用Kolmogorov-Smirnov检验，您必须指定分布参数，而不是从数据中提取它们。但是，这是在统计软件包（如SPSS）中进行的，用于单样本KS测试。

您尝试说一些有关分布的信息，然后想检查是否可以应用t检验。因此，进行此测试是为了确认数据与正常值的偏离不足够大，以致使分析的基础假设无效。因此，您对I型错误不感兴趣，但对II型错误感兴趣。

现在必须定义“明显不同”，以便能够计算出可接受功率的最小值n（例如0.8）。对于分布，定义起来并不容易。因此，我没有回答这个问题，因为除了我使用的经验法则之外，我无法给出一个明智的答案：n> 15并且n <50。基于什么？内脏基本上没有感觉，所以除了经验，我无法捍卫这种选择。

但我确实知道，只有6个值，您的II型错误注定几乎为1，使您的功效接近0。通过6个观察，Shapiro检验无法区分正态分布，泊松分布，均匀分布甚至指数分布。II型错误几乎为1时，测试结果毫无意义。

为了说明使用shapiro-test进行正态性测试：

shapiro.test(rnorm(6)) # test a the normal distribution
shapiro.test(rpois(6,4)) # test a poisson distribution
shapiro.test(runif(6,1,10)) # test a uniform distribution
shapiro.test(rexp(6,2)) # test a exponential distribution
shapiro.test(rlnorm(6)) # test a log-normal distribution

最后一个值大约只有一半小于0.05。这也是最极端的情况。

如果您想找出使用​​shapiro测试获得所需功率的最小n是多少，可以进行如下模拟：

results <- sapply(5:50,function(i){
  p.value <- replicate(100,{
    y <- rexp(i,2)
    shapiro.test(y)$p.value
  })
  pow <- sum(p.value < 0.05)/100
  c(i,pow)
})

这样可以为您进行功率分析：

从中得出的结论是，在80％的情况下，您至少需要20个值才能区分指数分布和正态分布。

代码图：

plot(lowess(results[2,]~results[1,],f=1/6),type="l",col="red",
    main="Power simulation for exponential distribution",
    xlab="n",
    ylab="power"
)

这里提出的问题有一个误解，即为什么样本量为6的样本需要进行Normality检查。这里的主要目标是“测试在代码版本A中花费的时间是否与在代码版本B中花费的时间不同（这是我的H1）”。当使用“ differ”一词时，它是一次尾巴测试吗？但是，正常性测试是第二步。第一步是在给定的样本量非常差的情况下，检查给定样本大小的测试的预定（1-β）功效是否足够，那么正常条件测试的用途是什么？正常状态检查将帮助我们确定是否要进行参数测试或非参数测试？如果您的样本量没有足够的功效，为什么应该考虑进行正态性检验？