生成总和为一的均匀分布的权重？

通常在混合模型之类的应用程序中使用权重并线性组合基函数。权重必须经常服从和。我想从此类向量的均匀分布中随机选择一个权重向量。$w_i$$w_i ≥$$\sum_{i} w_i=1$$\mathbf{w} = (w_1, w_2, …)$

使用w_i = \ frac {\ omega_i} {\ sum_ {j} \ omega_j}可能很诱人，$w_i = \frac{\omega_i}{\sum_{j} \omega_j}$其中$\omega_i \sim$ U（0，1），但是正如下面的注释所讨论的，\ mathbf {w的分布}$\mathbf{w}$是不统一的。

但是，给定约束$\sum_{i} w_i=1$，问题的基本维度似乎为$n-1$，并且应该有可能通过根据以下方法选择n-1个参数来选择$\mathbf{w}$：进行某种分布，然后根据这些参数计算相应的\ mathbf {w}（因为一旦指定了权重的n-1，就完全确定了剩余的权重）。$n-1$$\mathbf{w}$$n-1$

这个问题似乎是类似球面点采摘的问题（但不是采摘3载体，其$ℓ_2$标准是统一的，我想挑选$n$ -载体，其$ℓ_1$标准是统一）。

谢谢！

统一选择（通过间隔的均匀实数）。 对系数进行排序，以使。组 ñ - 1 [ 0 ，1 ] 0 ≤ X 1 ≤ ⋯ ≤ X ñ - $\mathbf{x} \in [0,1]^{n-1}$$n-1$$[0,1]$$0 \le x_1 \le \cdots \le x_{n-1}$

因为我们可以通过的部分和来恢复排序的，所以的映射为至1; 特别是它的图像是的单纯形。因为（a）每种交换都是线性变换，（b）前面的公式是线性的，（c）线性变换保持分布的均匀性，所以的均匀性意味着在单工。 特别要注意的是的边际不一定是独立的。w i x → w（n − 1 ）！n − 1 R n x w n − 1$x_i$$w_i$$\mathbf{x} \to \mathbf{w}$$(n-1)!$$n-1$$\mathbb{R}^n$$\mathbf{x}$$\mathbf{w}$ $n-1$$\mathbf{w}$

此3D点图显示了该算法2000次迭代的结果。这些点仅限于单纯形，并大致均匀地分布在单纯形上。$n=3$

由于此算法的执行时间为，因此对于大效率不高。但这确实回答了这个问题！在 -simplex 上生成均匀分布值的更好方法（通常）是在间隔上绘制均匀实数，然后计算ñ ñ - 1 Ñ （X 1，... ，X Ñ）[ 0 ，1 $O(n \log(n)) \gg O(n)$$n$$n-1$$n$$(x_1, \ldots, x_n)$$[0,1]$

（这使每个概率为，因此它们的和几乎肯定非零）并设置$y_i$$1$

之所以，是因为每个都有一个分布，这意味着具有一个Dirichlet分布-并且是均匀的。 Γ （1 ）瓦特（1 ，1 ，1 $y_i$$\Gamma(1)$$\mathbf w$$(1,1,1)$

    zz <- c(0, log(-log(runif(n-1))))
    ezz <- exp(zz)
    w <- ezz/sum(ezz)

第一项设为零以进行识别；您会看到在多项逻辑模型中做到了。当然，在多项式模型中，您还将在指数下具有协变量，而不仅仅是随机数zzs。zzs 的分布是极值分布；您需要这样做以确保最终得到的权重是正确的，我最初将rnormals 放在那儿，但是后来却感到直觉不起作用。

解决方案是显而易见的。以下MathLab代码为3个权重提供了答案。

function [  ] = TESTGEN( )
SZ  = 1000;
V  = zeros (1, 3);
VS = zeros (SZ, 3);
for NIT=1:SZ   
   V(1) = rand (1,1);     % uniform generation on the range 0..1
   V(2) = rand (1,1) * (1 - V(1));
   V(3) = 1 - V(1) - V(2);  
   PERM = randperm (3);    % random permutation of values 1,2,3
   for NID=1:3
         VS (NIT, NID) = V (PERM(NID));
    end
end 
figure;
scatter3 (VS(:, 1), VS(:,2), VS (:,3));
end