R中内核密度估计中“ pdf”下的区域

我正在尝试在R中使用' density '函数进行内核密度估计。我有一些困难，解释结果和比较不同的数据集，因为它似乎在曲线下面积不一定1.对于任何概率密度函数（PDF） ，我们需要有区域∫ ∞ - ∞ φ （x ）d x = 1。我假设内核密度估计报告pdf。我使用integrate.xy从sfsmisc估计曲线下面积。$\phi(x)$$\int_{-\infty}^\infty \phi(x) dx = 1$

> # generate some data
> xx<-rnorm(10000)
> # get density
> xy <- density(xx)
> # plot it
> plot(xy)

> # load the library
> library(sfsmisc)
> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 1.000978
> # fair enough, area close to 1
> # use another bw
> xy <- density(xx,bw=.001)
> plot(xy)

> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 6.518703
> xy <- density(xx,bw=1)
> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 1.000977
> plot(xy)

> xy <- density(xx,bw=1e-6)
> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 6507.451
> plot(xy)

曲线下的面积不应该总是1吗？看来小带宽是个问题，但有时您想在尾部显示详细信息等，并且需要小带宽。

更新/回答：

$2^{20}$

> xy <- density(xx,n=2^15,bw=.001)
> plot(xy)

> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 1.000015
> xy <- density(xx,n=2^20,bw=1e-6)
> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 2.812398

考虑一下梯形规则的integrate.xy()使用。对于正态分布，它将低估密度为凹面（因此线性插值低于真实密度）的区间（-1,1）中曲线下方的面积，而高估其他位置的密度（随着线性插值的进行）在真实密度之上）。由于后一个区域较大（如果愿意，可以用Lesbegue度量），因此梯形规则往往会高估积分。现在，当您转向较小的带宽时，几乎所有的估计都是分段凸的，对应于数据点有很多窄的尖峰，以及它们之间的谷值。这就是梯形规则特别严重的地方。

没关系，您可以修复它的偏移和缩放；将最小的数字相加，以使密度为非负数，然后将整个数乘以一个常数，以使面积为1。这是简单的方法。

最佳 $L_2$解决方案涉及“浇水”；寻找常数$c$ 这样 $\left[\phi(x)-c\right]^+$ 整合为一体。