贝叶斯A / B测试的公式没有任何意义

我正在使用贝叶斯ab测试的公式，以便使用贝叶斯方法计算AB测试的结果。

哪里

• $\alpha_A$加A的成功次数
• $\beta_A$加A的失败次数
• $\alpha_B$加上B的成功次数
• $\beta_B$加上B的失败次数
• $B$是Beta函数

示例数据：

control: 1000 trials with 78 successes
test: 1000 trials with 100 successes

标准的非贝叶斯prop测试可以给我带来显着的结果（p <10％）：

prop.test(n=c(1000,1000), x=c(100,78), correct=F)

#   2-sample test for equality of proportions without continuity correction
# 
# data:  c(100, 78) out of c(1000, 1000)
# X-squared = 2.9847, df = 1, p-value = 0.08405
# alternative hypothesis: two.sided
# 95 percent confidence interval:
#  -0.0029398  0.0469398
# sample estimates:
# prop 1 prop 2 
#  0.100  0.078 

虽然我对贝叶斯公式的实现（使用链接中的解释）给了我非常奇怪的结果：

# success control+1
a_control <- 78+1
# failures control+1
b_control <- 1000-78+1
# success control+1
a_test <- 100+1
# failures control+1
b_test <- 1000-100+1

is_control_better <- 0
for (i in 0:(a_test-1) ) {
  is_control_better <- is_control_better+beta(a_control+i,b_control+b_test) / 
                       (b_test+i)*beta(1+i,b_test)*beta(a_control,b_control)

}

round(is_control_better, 4)
# [1] 0

这意味着$P(TEST > CONTROL)$为$0$，对于此数据，这毫无意义。

有人可以澄清吗？

在您引用的网站上有一条通知

beta函数会产生非常大的数字，因此，如果您在程序中获得无穷大的值，请确保使用对数，如上面的代码所示。标准库的log-beta函数将在这里派上用场。

所以你的实现是错误的。下面我提供了更正的代码：

a_A <- 78+1
b_A <- 1000-78+1
a_B <- 100+1
b_B <- 1000-100+1

total <- 0

for (i in 0:(a_B-1) ) {
  total <- total + exp(lbeta(a_A+i, b_B+b_A)
                       - log(b_B+i)
                       - lbeta(1+i, b_B)
                       - lbeta(a_A, b_A))

}

输出总计= 0.9576921，这就是说“从长远来看，B会击败A”（引用您的链接），这听起来很有效，因为示例中的B所占比例更大。因此，它是不是一个p -值，而是一个概率B是大于A（你不指望它是<0.05）。

您可以运行简单的模拟来检查结果：

set.seed(123)

# does Binomial distributions with proportions
# from your data give similar estimates?

mean(rbinom(n, 1000, a_B/1000)>rbinom(n, 1000, a_A/1000))

# and does values simulated in a similar fashion to
# the model yield similar results?

fun2 <- function(n=1000) {
  pA <- rbeta(1, a_A, b_A)
  pB <- rbeta(1, a_B, b_B)
  mean(rbinom(n, 1000, pB) > rbinom(n, 1000, pA))
}

summary(replicate(1000, fun2(1000)))

在这两种情况下，答案都是肯定的。

关于代码，请注意，for循环是不必要的，并且通常它们会使R的运行速度变慢，因此您可以选择使用vapply更干净，速度更快的代码：

fun <- function(i) exp(lbeta(a_A+i, b_B+b_A)
             - log(b_B+i)
             - lbeta(1+i, b_B)
             - lbeta(a_A, b_A))

sum(vapply(0:(a_B-1), fun, numeric(1)))