几乎可以肯定，收敛并不意味着完全收敛

如果每个我们说完全收敛到。 $X_1, X_2, \ldots$ $X$ $\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

有了Borel Cantelli的引理，就可以直接证明完全收敛意味着几乎肯定的收敛。

我正在寻找一个几乎可以确定Borel Cantelli无法证明融合的示例。这是一个随机变量序列，几乎可以肯定收敛，但不能完全收敛。

probability convergence

— 曼努埃尔
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令与Borel sigma-代数并统一度量。限定 $\Omega=(0,1)$ $\mathfrak{F}$ $\mu$

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

和否则。的显然在概率空间可测量。 $X_n(\omega)=0$ $X_n$ $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

对于任何和所有，情况都是。因此，根据定义，序列收敛为（不仅几乎肯定！）。 $\omega\in\Omega$ $N \gt 1/\omega$ $X_n(\omega)=0$ $(X_n)$ $0$

但是，每当，，则 $0 \lt \epsilon \lt 1$ $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

\sum_{n = 1}^{\infty} Pr (X_{n} > ϵ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n},

$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$

分歧到。 $\infty$

— ub
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非常感谢！。有两条评论，是否有理由定义而不是吗？第二，它应该是吗？

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

X_{n} (ω) = 1 when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 1 \text{ when } \omega \le 1/n$

\sum Pr (X_{n} > ϵ)

$\sum\text{Pr}\left(X_n > \epsilon\right)$

— 曼努埃尔

1.没有充分的理由。在仔细考虑时，我使用术语来提醒您，在这些时候可能没有收敛。2.我修复了错字，谢谢。

\pm 1

$\pm 1$

<

$\lt$

— ub

是独立？在我看来，它们似乎就是我，第二次Borel Cantelli引理暗示着这种融合并不确定。

X_{n}

$X_n$

— Rdrr

@Rdrr然后，您可以毫无疑问地证明不是独立的。

X_{n}

$X_n$

— ub