生成相关随机变量的公式如何工作？

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如果我们有2个正常的，不相关的随机变量则可以使用以下公式创建2个相关的随机变量 $X_1, X_2$

$Y=\rho X_1+ \sqrt{1-\rho^2} X_2$

然后与的相关性为。 $Y$ $\rho$ $X_1$

有人可以解释这个公式的来源吗？

correlation normal-distribution covariance

— 兰扎
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1

在stats.stackexchange.com/a/71303我的回答中出现了对此问题和相关问题的广泛讨论。除此之外，它使平原（1）态假设是无关紧要的，（2）你需要额外的假设：方差的

X_{1}

$X_1$ 与

X_{2}

$X_2$ 必须按顺序相等的相关

Y

$Y$ 与

X_{1}

$X_1$ 是

ρ

$\rho$ 。

— ub

非常有趣的链接。我不确定我是否理解常态无关紧要。如果或不正常，则通过Kaiser-Dickman算法控制的密度变得更加困难。这是整个原因，专门的算法来产生非正常的相关数据（例如，黑德里克，2002; Ruscio＆Kaczetow，2008年，淡水河谷与Maurelli，1983）例如，假设你的目标是产生

〜正常，

〜制服，其中

= .5。使用

均匀会导致

不均匀（

最终是法线和均匀的线性组合）。

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

ρ

$\rho$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

Y

$Y$

— 安东尼

@Anthony该问题仅询问相关性，它纯粹是第一刻和第二刻的函数。答案不取决于分布的任何其他属性。您正在讨论的是完全不同的主题。

— ub

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假设您想找到 $X_1$ 和的线性组合， $X_2$ 使得

corr (α X_{1} + β X_{2}, X_{1}) = ρ

$\text{corr}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1) = \rho$

请注意，如果您乘两个和由相同的（非零）不变，相关性不会改变。因此，我们将添加一个条件来保留方差： $\alpha$ $\beta$ $\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \text{var}(X_1)$

这相当于

ρ = \frac{冠状病毒 （ α X_{1个} + β X_{2} ， X_{1个} ）}{\sqrt{变种 （ α X_{1个} + β X_{2} ） 变种 （ X_{1个} ）}} = \frac{α \overset{= 变种 （ X_{1个} ）}{\overset{⏞}{冠状病毒 （ X_{1个} ， X_{1个} ）}} + \overset{= 0}{\overset{⏞}{β 冠状病毒 （ X_{2} ， X_{1个} ）}}}{\sqrt{变种 （ α X_{1个} + β X_{2} ） 变种 （ X_{1个} ）}} = α \sqrt{\frac{变种 （ X_{1个} ）}{α^{2} 变种 （ X_{1个} ） + β^{2} 变种 （ X_{2} ）}}

$\rho = \frac{\text{cov}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1)}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \frac{\alpha \overbrace{\text{cov}(X_1, X_1)}^{=\text{var}(X_1)} + \overbrace{\beta \text{cov}(X_2, X_1)}^{=0}}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \alpha \sqrt{\frac{\text{var}(X_1)}{\alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2)}}$

假设两个随机变量具有相同的方差（这是一个关键的假设！）（），我们得到 $\text{var}(X_1) = \text{var}(X_2)$

ρ \sqrt{α^{2} + β^{2}} = α

$\rho \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \alpha$

该方程有很多解决方案，因此该回顾保留方差的条件了：

变种 （ X_{1个} ） = 变种 （ α X_{1个} + β X_{2} ） = α^{2} 变种 （ X_{1个} ） + β^{2} 变种 （ X_{2} ） \Rightarrow α^{2} + β^{2} = 1个

$\text{var}(X_1) = \text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2) \Rightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 1$

这导致我们

α = ρ β = \pm \sqrt{1个 - ρ^{2}}

$\alpha = \rho \\ \beta = \pm \sqrt{1-\rho^2}$

UPD。关于第二个问题：是的，这被称为美白。

— 阿特姆·索伯列夫（Artem Sobolev）
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该方程是Cholesky分解的简化双变量形式。这个简化的方程有时称为Kaiser-Dickman算法（Kaiser＆Dickman，1962）。

请注意，和必须具有相同的方差才能使该算法正常工作。而且，该算法通常与正常变量一起使用。如果或不正常，则的分布形式可能与。 $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $Y$ $X_2$

参考文献：

Kaiser，HF，和Dickman，K。（1962）。来自任意总体相关矩阵的样本和总体评分矩阵以及相关矩阵。心理疗法，27（2），179-182。

— 安东尼
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我想您不需要标准化的标准变量，只要具有相同的方差就足够了。

— Artem Sobolev 2015年

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不，分布是不是一个混合物，如你要求的分布。

Y

$Y$

— Dilip Sarwate 2015年

点了，@ Dilip Sarwate。如果或是非正态的，则成为两个变量的线性组合，可能不会导致所需的分布。这就是使用专用算法（而不是Kaiser-Dickman）处理生成的非正态相关数据的原因。

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

— 安东尼

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如果将两个序列视为向量（数据点是向量的维），则相关系数是两个序列之间的。上面的公式只是将向量分解为其和分量（相对于）。如果，则。 $\cos$ $n^{th}$ $n^{th}$ $\cos\theta$ $sin\theta$ $X_1,X_2$
$\rho = cos \theta$ $\sqrt{1-{\rho}^2}=\pm sin \theta$

因为如果不相关，则它们之间的角度为直角（即，尽管未标准化，也可以将它们视为正交）。 $X_1, X_2$

— 德米特里·鲁巴诺维奇（Dmitry Rubanovich）
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2

欢迎来到我们的网站！我相信，如果您使用标记数学表达式，则会将您的帖子引起更多关注：将它们括在美元符号之间。编辑时有可用的帮助。

T E X

$\TeX$

— ub