如何生成随机自动相关的二进制时间序列数据？

如何生成二进制时间序列，例如：

1. 指定观察的平均概率为1（例如5％）；
2. 给定t − 1的值，在时间观察1的条件概率（如果t − 1的值为1，则为30％）？$t$$t-1$$t-1$

使用二状态马尔可夫链。

如果状态被称为0和1，则链可以由2x2矩阵表示，给出状态之间的转移概率，其中P i j是从状态i迁移到状态j的概率。在此矩阵中，每一行的总和应为1.0。$P$$P_{ij}$$i$$j$

根据陈述2，我们得到，然后简单守恒说P 10 = 0.7。$P_{11} = 0.3$$P_{10} = 0.7$

根据陈述1，您希望长期概率（也称为平衡或稳态）为。这表示P 1 = 0.05 = 0.3 P 1 + P 01（1 - P 1） 求解得出P 01 = 0.0368421和转换矩阵P = （0.963158 0.0368421 0.7 0.3$P_1 = 0.05$

（您可以通过将转换矩阵提高到较高的幂来检查转换矩阵的正确性（在本例中为14）—结果的每一行都给出相同的稳态概率）

$P$

我在R中编码@Mike Anderson答案时遇到了麻烦。我无法弄清楚如何使用sapply做到这一点，所以我使用了一个循环。我稍微修改了概率以获得更有趣的结果，然后用“ A”和“ B”表示状态。让我知道你的想法。

set.seed(1234)
TransitionMatrix <- data.frame(A=c(0.9,0.7),B=c(0.1,0.3),row.names=c('A','B'))
Series <- c('A',rep(NA,99))
i <- 2
while (i <= length(Series)) {
    Series[i] <- ifelse(TransitionMatrix[Series[i-1],'A']>=runif(1),'A','B')
    i <- i+1
}
Series <- ifelse(Series=='A',1,0)
> Series
  [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
 [38] 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 [75] 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

/ edit：为了回应Paul的评论，这是一个更为优雅的表述

set.seed(1234)

createSeries <- function(n, TransitionMatrix){
  stopifnot(is.matrix(TransitionMatrix))
  stopifnot(n>0)

  Series <- c(1,rep(NA,n-1))
  random <- runif(n-1)
  for (i in 2:length(Series)){
    Series[i] <- TransitionMatrix[Series[i-1]+1,1] >= random[i-1]
  }

  return(Series)
}

createSeries(100, matrix(c(0.9,0.7,0.1,0.3), ncol=2))

我刚学习R时就写了原始代码，所以有点懈怠。;-)

给定序列，这是估算过渡矩阵的方法：

Series <- createSeries(100000, matrix(c(0.9,0.7,0.1,0.3), ncol=2))
estimateTransMatrix <- function(Series){
  require(quantmod)
  out <- table(Lag(Series), Series)
  return(out/rowSums(out))
}
estimateTransMatrix(Series)

   Series
            0         1
  0 0.1005085 0.8994915
  1 0.2994029 0.7005971

与我原来的转换矩阵交换了订单，但是得到了正确的概率。

这是一个基于markovchain程序包的答案，可以概括为更复杂的依赖关系结构。

library(markovchain)
library(dplyr)

# define the states
states_excitation = c("steady", "excited")

# transition probability matrix
tpm_excitation = matrix(
  data = c(0.2, 0.8, 0.2, 0.8), 
  byrow = TRUE, 
  nrow = 2,
  dimnames = list(states_excitation, states_excitation)
)

# markovchain object
mc_excitation = new(
  "markovchain",
  states = states_excitation,
  transitionMatrix = tpm_excitation,
  name = "Excitation Transition Model"
)

# simulate
df_excitation = data_frame(
  datetime = seq.POSIXt(as.POSIXct("01-01-2016 00:00:00", 
                                   format = "%d-%m-%Y %H:%M:%S", 
                                   tz = "UTC"), 
                        as.POSIXct("01-01-2016 23:59:00", 
                                   format = "%d-%m-%Y %H:%M:%S", 
                                   tz = "UTC"), by = "min"),
  excitation = rmarkovchain(n = 1440, mc_excitation))

# plot
df_excitation %>% 
  ggplot(aes(x = datetime, y = as.numeric(factor(excitation)))) + 
  geom_step(stat = "identity") + 
  theme_bw() + 
  scale_y_discrete(name = "State", breaks = c(1, 2), 
                   labels = states_excitation)

这给您：

我忘记了描述这种方法的论文，但是这里有。

将转换矩阵分解为

从直觉上讲，这对应于某种可能性 $1-p_t$ 系统保持相同的状态，并且有一个概率 $p_t$ 状态会随机化，其中随机化意味着根据下一个状态的均衡分布进行独立绘制（$p_0$ 是处于第一状态的平衡概率）。

请注意，根据您指定的数据，您需要解决 $p_t$ 从指定的 $T_{11}$ 通过 $T_{11} = (1-p_t)+p_t(1-p_0)$。

这种分解的有用功能之一是，它可以直接将其归纳为高维问题中的相关马尔可夫模型。