当是连续变量时，

我知道对于连续变量。 $P[X=x]=0$

但是我无法想象，如果，则可能有无限多个。而且为什么它们的概率会无限小？ $P[X=x]=0$ $x$

— 时间
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连续变量

— 西安

已经有两票赞成以重复的方式结束这个问题。我不同意这是一个非常基本的主题，将来可能会再次出现。因此，如果它有一个直接且高质量的答案，那将很好，因此我们将来可以参考。@西安提供的链接可能会被威胁为重复链接，但链接也很具体并且很难通过搜索找到。该链接也没有提供详尽的答案，尽管这种威胁似乎已经收敛到这一点。我认为应该将其留作将来参考。

— 蒂姆

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$

1

$1$

@Tim谢谢，但我将此想法发布为评论，而不是答案，因为它不完整：我还没有找到一种基本的方法来解释极限发生了什么。似乎需要了解无限集的基数。

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$

— ub

@西安我同意，但是您建议的线程不是足够接近的重复线程。这是一件很难的事情。您是否知道其他重复该问题的线程？

— ub

Answers:

概率是观测相对频率的模型。如果在次试验中观察到事件已发生次，则其相对频率为，通常认为该事件的数值当为“大”时，上述比率与非常接近，其中“大”的含义最好留给读者的想象力（和轻信）。 $A$ $N_A$ $N$

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

现在，已经观察到，如果我们的模型是连续随机变量的模型，那么的样本是不同的数字。因此，如果一个具有值，则特定数字（或更确切地说，事件）的相对频率为，或者如果所有不同，则为从。如果更加怀疑读取器收集的附加样品中，事件的相对频率或者是 $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ $\frac 1N$ $x_i$ $x$ $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ $\frac{1}{2N}$ 或继续享受值。因此，人们倾向于猜测应该给赋值因为这是对观察到的相对频率的良好近似。 $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

注意：上面的解释（通常）对于工程师和其他对概率和统计学应用感兴趣的人（即那些认为选择概率公理是为了使该理论成为现实的良好模型的人）令人满意，但完全不令人满意对许多其他人。也有可能从纯粹的数学或统计角度解决您的问题，并通过概率公理的逻辑推论证明，只要是连续随机变量，必须具有值，而无需任何参考相对频率或物理观察等 $P\{X = x\}$ $0$ $X$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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+1“注意：以上解释对……那些认为选择公理使理论成为现实的好模型的人来说是令人满意的……，但完全不令人满意……”，互联网的首选措辞，哈哈。

— gung-恢复莫妮卡

我不明白你的意思做的，已经观察到，如果是连续的，那么...... $X$ 。我们如何观察呢？

— 斯特凡·洛朗

@StéphaneLaurent该句子有点复杂，因此需要重新阅读。去除一些括号后的注释，它说：“已经观察到……样本……是不同的数字。” 换句话说，当假设具有连续分布时，（几乎可以肯定）在任何有限iid样本中都不会有重复项。这可以从数学上证明：这不仅仅是观察。

N

$N$ $X$

X

$X$

— ub

@StéphaneLaurent我认为Dilip的言论所表达的精神与此不同。这个答案不是要提供严格的数学证明，而是要为使OP困惑的事实提供一些直觉和动力。我对这种方法很感兴趣，因为它具有弥合传统上向初学者教授的离散概率理论与基于量度理论的更丰富的概率论之间的桥梁的潜力。

— ub

@whuber我理解这种精神，但是乍一看，我并没有使no-ties属性比零概率属性更直观。对于这实际上是同一回事：“ ”。

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

— 斯特凡·洛朗

令为潜在的概率空间。我们说，如果由定义的概率度量超过测量函数是绝对连续的随机变量，即的分布，由勒贝格测度支配，在某种意义上，对于每个Borel集，如果，则。在这种情况下，Radon-Nikodym定理告诉我们存在一个可测量的 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ，几乎在所有地方都定义了等价物，例如。令为的可数子集。由于可累加，因此。但是每。由于实数具有Archimedean属性，由于，当且仅当不等式成立 $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$ ，意味着。从的假定绝对连续性可以得出。

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

— 禅
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连续随机变量不需要绝对连续（可以没有密度。）

— Zhanxiong

胡扯。“连续随机变量”是“关于莱贝格测度绝对是连续的随机变量”的非正式名称。因此，Radon-Nikodym保证存在密度。具有奇异分布的随机变量（例如Cantor）是另一回事。您的虚假评论误导了潜在的学生。

— 禅

当您批评某人时，请显示您引用的内容。哪个概率教科书说“连续随机变量”是“关于Lebesgue测度绝对连续的随机变量”的非正式名称？此外，无需

具有密度即可解决此问题，请参阅下面的证明。

X

$X$

— 詹雄2015年

维基百科不同意您，@ Solitary：“ 连续概率分布是具有概率密度函数的概率分布。数学家也将这种分布称为绝对连续[...]”。

— 变形虫说莫妮卡（Monica）恢复

是一个连续的随机变量，意味着其分布函数是连续的。这是我们唯一的条件，但可以从中得出。 $X$ $F$ $P(X = x) = 0$

事实上，通过连续性，我们有对每个，因此： $F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P （ X = X ） = P （ X \leq X ） - P （ X < X ） = F （ X ） - F （ X - ） = 0。

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— 战雄
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如果rv

的分布是Cantor，则其分布函数是连续的，但是

是奇异随机变量；它不是连续的随机变量。

X

$X$

X

$X$

— 禅

我的朋友，这实际上可以作为您自己答案的反例，而不是我的。由于存在这样的奇异连续 rv，尽管它们的分布函数都是连续的，但是有必要区分绝对连续 rv和奇异连续 rv。要使连续 rv和绝对连续 rv 相等是不明确的。

— 詹雄2015年

不是，但您不会听到，我的朋友。

— 禅

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$