如果是独立Beta，则显示也是beta

这是几年前在我们大学进行的学期考试中遇到的一个问题，我正在努力解决。

如果 $X_1,X_2$ 是密度分别为和独立 $\beta$ 随机变量，则表明遵循。 $\beta(n_1,n_2)$ $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ $\sqrt{X_1X_2}$ $\beta(2n_1,2n_2)$

我使用Jacobian方法获得的密度 $Y=\sqrt{X_1X_2}$ 如下：

F_{ÿ} （ ÿ ） = \frac{4 ÿ^{2 ñ_{1个}}}{乙 （ ñ_{1个} ， ñ_{2} ） 乙 （ ñ_{1个} + \frac{1个}{2} ， ñ_{2} ）} \int_{ÿ}^{1个} \frac{1个}{X^{2}} （ 1个 - X^{2} ）^{ñ_{2} - 1个} （ 1个 - \frac{ÿ^{2}}{X^{2}} ）^{ñ_{2} - 1个} d X

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

我实际上在这一点上迷路了。现在，在主文件中，我发现已经提供了提示。我尝试使用提示，但无法获得所需的表达式。提示逐字记录如下：

提示：根据给定的和密度，的密度公式，并尝试使用的变量更改。 $Y=\sqrt{X_1X_2}$ $X_1$ $X_2$ $z=\dfrac{y^2}{x}$

因此，在这一点上，我尝试通过考虑变量的这种变化来利用此提示。因此我得到

F_{ÿ} （ ÿ ） = \frac{4 ÿ^{2 ñ_{1个}}}{乙 （ ñ_{1个} ， ñ_{2} ） 乙 （ ñ_{1个} + \frac{1个}{2} ， ñ_{2} ）} \int_{ÿ^{2}}^{ÿ} \frac{ž^{2}}{ÿ^{4}} （ 1个 - \frac{ÿ^{4}}{ž^{2}} ）^{ñ_{2} - 1个} （ 1个 - ÿ^{2} 。 \frac{ž^{2}}{ÿ^{4}} ）^{ñ_{2} - 1个} \frac{ÿ^{2}}{ž^{2}} d ž

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$ ，经过简化，结果是（为

编写

）

x

$x$

z

$z$

F_{ÿ} （ ÿ ） = \frac{4 ÿ^{2 ñ_{1个}}}{乙 （ ñ_{1个} ， ñ_{2} ） 乙 （ ñ_{1个} + \frac{1个}{2} ， ñ_{2} ）} \int_{ÿ^{2}}^{ÿ} \frac{1个}{ÿ^{2}} （ 1个 - \frac{ÿ^{4}}{X^{2}} ）^{ñ_{2} - 1个} （ 1个 - \frac{X^{2}}{ÿ^{2}} ）^{ñ_{2} - 1个} d X

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

我真的不知道该如何进行。我什至不确定我是否正确解释了提示。无论如何，其余的提示都在这里：

通过使用变量的变化，可以观察到所需的密度可以通过两种方式表示，即平均现在将积分范围分为和并编写并继续进行。 $z=\dfrac{y^2}{x}$
$F_{ÿ} （ ÿ ） = C Ø ñ s Ť 一个 ñ Ť 。 ÿ^{2 ñ_{1个} - 1个} \int_{ÿ^{2}}^{1个} （ 1个 - \frac{ÿ^{2}}{X} ）^{ñ_{2} - 1个} （ 1个 - X ）^{ñ_{2} - 1个} （ 1个 + \frac{ÿ}{X} ） \frac{1个}{\sqrt{X}} d X$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

好吧，说实话，我无法理解如何使用这些提示：似乎我什么都没得到。感谢帮助。提前致谢。

— 兰登·卡特
source

我看到一个类似的问题，在此之前我已经对其进行了一些编译。见arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/...

— 希德

@Sid抱歉，但是我在那些参考文献或类似文献中找不到此问题。您能指出这些地方吗？谢谢！！

— Landon Carter 2015年

您确定正确应用了Jacobian方法吗？如果这样做，我得到：我想您也需要加倍公式，请参见en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

f_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0.5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} [(1 - \frac{y^{2}}{x}) (1 - x)]^{n_{1} - 1} d x

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

— StijnDeVuyst

显然，公式是相同的。也许您必须在公式中使用变量的更改才能获得我的变量。我说的是雅各布主义。

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

— Landon Carter 2015年

我不认为他们是一样的。更改您在我的公式中提到的变量，我得到的东西比您在OP的第一个整数中所得到的要简单一些。

— StijnDeVuyst

我将使用产生力矩的函数以另一种方式证明这一点。或者等价地，通过显示的次的时刻等于的随机变量的阶矩与分布。如果对于所有都是这样，则通过力矩问题的强度，证明了该练习。 $q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

对于最后一部分，我们从http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments获得的矩为现在开始第一部分： $q$ $B$

Ë [乙^{q}] = \prod_{Ĵ = 0}^{q - 1个} \frac{2 ñ_{1个} + Ĵ}{2 ñ_{1个} + 2 ñ_{2} + Ĵ} = \dots = \frac{Γ （ 2 ñ_{1个} + q ） Γ （ 2 ñ_{1个} + 2 ñ_{2} ）}{Γ （ 2 ñ_{1个} ） Γ （ 2 ñ_{1个} + 2 ñ_{2} + q ）}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

Ë [（ \sqrt{X_{1个} X_{2}} ）^{q}] = \int \int （ \sqrt{X_{1个} X_{2}} ）^{q} F_{X_{1个}} （ X_{1个} ） F_{X_{2}} （ X_{2} ） d X_{1个} d X_{2} = \int X^{q / 2} F_{X_{1个}} （ X_{1个} ） d X_{1个} \cdot \int X_{2}^{q / 2} F_{X_{2}} （ X_{2} ） d X_{2} = \frac{1个}{乙 （ ñ_{1个} ， ñ_{2} ）} \int X_{1个}^{ñ_{1个} + q / 2 - 1个} （ 1个 - X_{1个} ）^{ñ_{2} - 1个} d X_{1个} \cdot \frac{1个}{乙 （ ñ_{1个} + \frac{1个}{2} ， ñ_{2} ）} \int X_{2}^{ñ_{1个} + \frac{q + 1个}{2} - 1个} （ 1个 - X_{2} ）^{ñ_{2} - 1个} d X_{2} = \frac{乙 （ ñ_{1个} + \frac{q}{2} ， ñ_{2} ） 乙 （ ñ_{1个} + \frac{q + 1个}{2} ， ñ_{2} ）}{乙 （ ñ_{1个} ， ñ_{2} ） 乙 （ ñ_{1个} + \frac{1个}{2} ， ñ_{2} ）}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ 现在剩下的就是应用定义，然后应用加倍公式。事实证明，第一部分和第二部分完全相同。

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

— 斯蒂恩·德威斯特
source

我认为您不能说矩均等意味着分配均等。在某些示例中，这可能不成立。

— 兰登·卡特

StijnDeVuyst，抱歉，这不是可接受的答案。我有一个例子，其中矩相等，但分布不相同。这个例子有点复杂。遗憾的是，我现在没有这个例子。它也参加了一个学期的考试。但是很快，如果您有兴趣，我将在此线程中发布示例。无论如何，我自己解决了这个问题。谢谢你的帮助。

— Landon Carter 2015年

@yedaynara和Stijn：一个经典的例子是由于Heyde：考虑pdf，其中是pdf标准对数正态和。该分布系列的所有成员（所有订单）都具有相同的时刻。请注意，标准对数法线是该族的成员，并且其矩具有良好的封闭形式。

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$

f_{0}

$f_0$

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$

— 主教

但是，此刻还有其他条件（例如，Carleman's）可以保证分配的唯一性。这就是所谓的汉堡矩问题。

— 主教

来自web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/…的引用：“ ...这是基本线性代数，用于验证具有有限支持的正度量是由其矩唯一地确定的...” OP中Beta分布的M确定性的Carleman条件。@cardinal和yedaynara都是正确的，以至于我不能太快地假设这一点。但显然，有限的支持才是成功的关键。

— StijnDeVuyst