AR（1）的随机游走估计

当我估计带有AR（1）的随机游走时，系数非常接近1，但始终较小。

系数不大于1的数学原因是什么？

我们估计由OLS模型

$$x_{t} = \rho x_{t-1} + u_t,\;\; E(u_t \mid \{x_{t-1}, x_{t-2},...\}) =0,\;x_0 =0$$

对于大小为T的样本，估计量为

$$\hat \rho = \frac {\sum_{t=1}^T x_{t}x_{t-1}}{\sum_{t=1}^T x_{t-1}^2} = \rho + \frac {\sum_{t=1}^T u_tx_{t-1}}{\sum_{t=1}^T x_{t-1}^2}$$

$\rho=1$

$$x_{t} = x_{t-1} + u_t \implies x_t= \sum_{i=1}^t u_i$$

$\hat \rho - 1$$\approx 68$$\approx$$\hat \rho < 1$

$$\begin{align} \text{Mean:} -0.0017773\\ \text{Median:} -0.00085984\\ \text{Minimum: } -0.042875\\ \text{Maximum: } 0.0052173\\ \text{Standard deviation: } 0.0031625\\ \text{Skewness: } -2.2568\\ \text{Ex. kurtosis: } 8.3017\\ \end{align}$$

有时将其称为“ Dickey-Fuller”分布，因为它是用于执行相同名称的单位根测试的临界值的基础。

我不觉得有任何尝试为采样分布的形状提供直觉。我们正在看随机变量的抽样分布

$$\hat \rho - 1 = \left(\sum_{t=1}^T u_tx_{t-1}\right)\cdot \left(\frac {1}{\sum_{t=1}^T x_{t-1}^2}\right)$$

$u_t$$\hat \rho - 1$$\hat \rho - 1$

$T=5$

如果我们对独立的产品正态求和，我们得到的分布将在零附近保持对称。例如：

但是，如果像我们的情况那样对非独立乘积法线求和，则得到

它向右倾斜，但分配给负值的概率更大。如果我们增加样本大小并在总和中添加更多相关元素，则质量似乎会进一步向左推。

非独立Gamma的总和的倒数是具有正偏斜的非负随机变量。

$\hat \rho -1$

这不是一个真正的答案，但是评论太久了，所以无论如何我都会发布它。

对于100的样本量（使用“ R”），我能够从一百分之二中获得大于1的系数：

N=100                   # number of trials
T=100                   # length of time series
coef=c()
for(i in 1:N){
 set.seed(i)
 x=rnorm(T)             # generate T realizations of a standard normal variable
 y=cumsum(x)            # cumulative sum of x produces a random walk y
 lm1=lm(y[-1]~y[-T])    # regress y on its own first lag, with intercept
 coef[i]=as.numeric(lm1$coef[1])
}
length(which(coef<1))/N # the proportion of estimated coefficients below 1

实现84和95的系数大于1，因此它并不总是小于1。但是，这种趋势显然具有向下偏向的估计。问题仍然存在，为什么？

编辑：上面的回归包括一个截距项，它似乎不属于模型。移除截距后，我得到了高于1的更多估计（10000中的3158）-但仍然明显低于所有情况的50％：

N=10000                 # number of trials
T=100                   # length of time series
coef=c()
for(i in 1:N){
 set.seed(i)
 x=rnorm(T)             # generate T realizations of a standard normal variable
 y=cumsum(x)            # cumulative sum of x produces a random walk y
 lm1=lm(y[-1]~-1+y[-T]) # regress y on its own first lag, without intercept
 coef[i]=as.numeric(lm1$coef[1])
}
length(which(coef<1))/N # the proportion of estimated coefficients below 1