与Borel-Cantelli Lemma相关的问题

注意：

Borel-Cantelli Lemma说

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

然后，

如果

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

通过使用Borel-Cantelli Lemma

我想证明

首先，

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ 存在

其次，

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

请帮助我展示这两部分。谢谢。

— B11b
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不，至少在没有进一步假设的情况下，Borel-Cantelli引理并没有说（全部）。

— 红衣主教

@cardinal好，我该如何显示这两个陈述？请你给我解释一下吗？我没有足够的主意。如果您能表现出一种甜蜜的方式，我会很高兴：）谢谢

— B11b

增加了一个“进一步的假设”。

— 2015年

次要注：提到这里，例如，我们可以通过与只两两独立获得在引理的第二部分

A_{n}

$A_n$

— JLD

没有一个说法是正确的。

让是头在抛硬币的机会，以概率时是奇数和时是偶数。然后： $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

但是，显然不存在。您可以得出的最佳结论是。 $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— 亚历克斯·R。
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