最小风险分类器的计算阈值？

假设两个类和具有属性并具有分布和。如果我们对于以下成本矩阵具有相等的先验：$C_1$$C_2$$x$$\cal{N} (0, 0.5)$$\cal{N} (1, 0.5)$$P(C_1)=P(C_2)=0.5$

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

为什么是最低风险（成本）分类器的阈值？$x_0 < 0.5$

这是我误会的注释示例（即，如何达到此阈值？）

编辑1：我认为对于似然比的阈值，我们可以使用P（C1）/ P（C2）。

编辑2：我从Duda Book on Pattern上添加了一些有关阈值的文本。

对于成本矩阵

$$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \;\text{prediction} \\ \hspace{-1.9cm} \begin{matrix} c_1 & c_2 \end{matrix} \\ \hspace{-1.9cm}\text{truth}$$

为类时预测类的损失为，而真为类时预测类的损失为。正确的预测没有成本，。条件风险用于预测任一类然后$c_1$$c_2$$L_{12} = 0.5$$c_2$$c_1$$L_{21} = 1$$L_{11} = L_{22} = 0$$R$$k$

$$\begin{align} R(c_1|x) &= L_{11} \Pr (c_1|x) + L_{12} \Pr (c_2|x) = L_{12} \Pr (c_2|x) \\ R(c_2|x) &= L_{22} \Pr (c_2|x) + L_{21} \Pr (c_1|x) = L_{21} \Pr (c_1|x) \end{align}$$ 对于参考，请参阅第15页上的这些说明。

为了最大程度地降低风险/损失，您可以预测是否因错误而付出的代价（即错误的预测损失乘以预测错误的后验概率）小于错误地预测替代方案的成本，$c_1$$L_{12} \Pr (c_2|x)$

$$\begin{align} L_{12} \Pr (c_2|x) &< L_{21} \Pr (c_1|x) \\ L_{12} \Pr (x|c_2) \Pr (c_2) &< L_{21} \Pr (x|c_1) \Pr (c_1) \\ \frac{L_{12} \Pr (c_2)}{L_{21} \Pr (c_1)} &< \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)} \end{align}$$ ，其中第二行使用贝叶斯规则。给定相等的先验概率您得到 $\Pr (c_2|x) \propto \Pr (x|c_2) \Pr (c_2)$$\Pr (c_1) = \Pr (c_2) = 0.5$ $$\frac{1}{2} < \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)}$$

因此您选择将观察值分类为是似然比超过此阈值。现在，我不清楚您是要根据似然比还是就属性来了解“最佳阈值” 。答案根据成本函数而变化。在不等式利用高斯与和，， $c_1$$x$$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$$\mu_1 = 0$$\mu_2 = 1$

$$\begin{align} \frac{1}{2} &< \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_1)^2 \right]}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_2)^2 \right]} \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-0)^2 - \left[ \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-1)^2 \right] \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< -\frac{x^2}{2\sigma^2} + \frac{x^2}{2\sigma^2} - \frac{2x}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^2} \\ \frac{x}{\sigma^2} &< \frac{1}{2\sigma^2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \\ x &< \frac{1}{2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \sigma^2 \end{align}$$ 因此根据的预测阈值$x$当您进行搜索时，只有在错误预测导致的损失相同的情况下才能实现，即因为只有这样，您才能拥有，您得到。$L_{12} = L_{21}$$\log \left( \frac{L_{12}}{L_{21}} \right) = \log (1) = 0$$x_0 < \frac{1}{2}$