确定系数（

我想完全理解描述变量之间变化量的的概念。每个网络的解释都有些机械和晦涩。我想“理解”这个概念，而不仅仅是机械地使用数字。$r^2$

例如：学习时数与考试成绩

= 0.8$r$

= .64$r^2$

• 那么这是什么意思？
• 考试成绩变异性的64％可以用小时来解释吗？
• 我们怎么知道只是平方呢？

从变化的基本思想开始。您的初始模型是与均值的平方偏差之和。R ^ 2值是使用替代模型说明的该变化的比例。例如，R平方告诉您可以通过求和与回归线的平方距离而不是平均值来消除Y的变化量。

如果我们考虑绘制出的简单回归问题，我认为这很清楚。考虑一个典型的散点图，您在水平轴上有一个预测变量X，在垂直轴上有一个响应Y。

平均值是图上的水平线，其中Y为常数。Y的总变化是Y的平均值与每个数据点之间的平方差之和。它是平均线与每个单独点之间的距离的平方并累加起来。

从模型获得回归线后，您还可以计算另一种可变性度量。这是每个Y点和回归线之间的差。而不是每个（Y-均方）平方，而是得到（Y-回归线上的点）平方。

如果回归线不是水平线，那么使用此拟合的回归线而不是平均值时，总距离会更少，这就是无法解释的变化少了。说明的额外变化量与原始变化量之比为R ^ 2。这是您的回复中原始变化的比例，可以通过拟合该回归线来解释。

这是图形的一些R代码，其均值，回归线以及从回归线到每个点的分段有助于可视化：

library(ggplot2)
data(faithful)

plotdata <- aggregate( eruptions ~ waiting , data = faithful, FUN = mean) 

linefit1 <- lm(eruptions ~ waiting, data = plotdata)

plotdata$expected <- predict(linefit1)
plotdata$sign <- residuals(linefit1) > 0

p <- ggplot(plotdata, aes(y=eruptions, x=waiting, xend=waiting, yend=expected) )  

p  + geom_point(shape = 1, size = 3) +
     geom_smooth(method=lm, se=FALSE) + 
     geom_segment(aes(y=eruptions, x=waiting, xend=waiting, yend=expected, colour = sign),  
                  data = plotdata) +
     theme(legend.position="none")  +
     geom_hline(yintercept = mean(plotdata$eruptions), size = 1)

两者之间的关系的数学证明如下：Pearson相关性和最小二乘回归分析。

我不确定除数学之外是否可以提供几何或其他任何直觉，但如果我能想到一个，我将更新此答案。

更新：几何直觉

$x$$y$$y$

$y = x\ \beta + \epsilon$

$y_1,y_2$$x_1,x_2$

替代文字http://a.imageshack.us/img202/669/linearregression1.png

$\beta$$x\ \beta$$y$$\beta$$x$$\hat{\beta}$$\beta$$y$$\hat{y} = x\ \hat{\beta}$

$y = \hat{y} + \hat{\epsilon}$

$y$$\hat{y}$$\hat{\epsilon}$$\hat{\beta}$

$\beta$$x\ \beta$$\hat{\epsilon}$

$y$$y$$x$$y$$y_1^2+y_2^2$$y$$\hat{y}$$\hat{y}$

根据毕达哥拉斯定理，我们有：

$y^2 = \hat{y}^2 + \hat{\epsilon}^2$

$x$$\frac{\hat{y}^2}{y^2}$$cos(\theta) = \frac{\hat{y}}{y}$

因此，我们具有所需的关系：

$y$$x$

希望能有所帮助。

该回归到眼睛的小程序可以使用的，如果你想开发一些直觉。

它使您可以生成数据，然后猜测R的值，然后可以将其与实际值进行比较。