来自正态分布组合的分位数

我了解不同年龄儿童的人体测量尺寸分布（例如肩跨度）。对于每个年龄和维度，我都有均值，标准差。（我也有八个分位数，但我认为我无法从中得到想要的东西。）

对于每个维度，我想估算长度分布的特定分位数。如果我假设每个维度都是正态分布的，则可以使用均值和标准偏差来实现。我是否可以使用一个漂亮的公式来获取与特定分位数的分布相关的值？

反向操作非常简单：对于特定值，对于每个正态分布（年龄），将面积都设置在该值的右侧。对结果求和，然后除以分布数。

更新：这是图形形式的相同问题。假设每个彩色分布都是正态分布。

而且，很明显，我可以尝试一堆不同的长度，并不断更改它们，直到获得与我的精度足够接近所需分位数的长度为止。我想知道是否有比这更好的方法。如果这是正确的方法，那么它有名字吗？

不幸的是，标准法线（由于法线是一个位置尺度族，因此可以确定所有其他标准线）的分位数函数不允许采用封闭形式（即“漂亮公式”）。与闭合形式最接近的是标准正态分位数函数是满足微分方程的函数$w$

$$\frac{d^2 w}{d p^2} = w \left(\frac{d w}{d p}\right)^2$$

且初始条件且。在大多数计算环境中，都有一个函数以数字方式计算正常的分位数函数。在R中，您可以输入$w(1/2) = 0$$w'(1/2) = \sqrt{2 \pi}$

qnorm(p, mean=mu, sd=sigma)

以获得分布的个分位数。$p$$N(\mu, \sigma^2)$

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编辑：对问题的理解有所修改，数据是从法线混合生成的，因此观察到的数据的密度为：

$$p(x) = \sum_{i} w_{i} p_{i}(x)$$

其中，每个是一些平均密度，均值和标准偏差。因此，观察到的数据的CDF为$\sum_{i} w_{i} = 1$$p_{i}(x)$$\mu_{i}$$\sigma_{i}$

$$F(y) = \int_{-\infty}^{y} \sum_{i} w_{i} p_{i}(x) dx = \sum_{i} w_{i} \int_{-\infty}^{y} p_{i}(x) = \sum_{i} w_{i} F_{i}(y)$$

其中是具有平均值和标准偏差的正常CDF 。积分和求和可以互换，因为这些积分是有限的。该CDF连续且容易在计算机上计算，因此可以通过进行行搜索来计算CDF的倒数，也称为分位数函数。我默认使用此选项，因为没有想到一个简单的公式来表示正态混合的分位数函数，它是成分分布的分位数的函数。μ 我 σ 我 ˚F - $F_{i}(x)$$\mu_{i}$$\sigma_{i}$$F^{-1}$

以下R代码使用二等分进行线搜索，以数值方式计算。函数F_inv（）是分位数函数，您需要提供包含每个以及要求解的分位数。瓦特我，μ 我，σ 我$F^{-1}$$w_{i}, \mu_{i}, \sigma_{i}$$p$

# evaluate the function at the point x, where the components 
# of the mixture have weights w, means stored in u, and std deviations
# stored in s - all must have the same length.
F = function(x,w,u,s) sum( w*pnorm(x,mean=u,sd=s) )

# provide an initial bracket for the quantile. default is c(-1000,1000). 
F_inv = function(p,w,u,s,br=c(-1000,1000))
{
   G = function(x) F(x,w,u,s) - p
   return( uniroot(G,br)$root ) 
}

#test 
# data is 50% N(0,1), 25% N(2,1), 20% N(5,1), 5% N(10,1)
X = c(rnorm(5000), rnorm(2500,mean=2,sd=1),rnorm(2000,mean=5,sd=1),rnorm(500,mean=10,sd=1))
quantile(X,.95)
    95% 
7.69205 
F_inv(.95,c(.5,.25,.2,.05),c(0,2,5,10),c(1,1,1,1))
[1] 7.745526

# data is 20% N(-5,1), 45% N(5,1), 30% N(10,1), 5% N(15,1)
X = c(rnorm(5000,mean=-5,sd=1), rnorm(2500,mean=5,sd=1),
      rnorm(2000,mean=10,sd=1), rnorm(500, mean=15,sd=1))
quantile(X,.95)
     95% 
12.69563 
F_inv(.95,c(.2,.45,.3,.05),c(-5,5,10,15),c(1,1,1,1))
[1] 12.81730