转换变量密度的直观解释？

假设是pdf的随机变量。然后，随机变量具有pdf $X$ $f_X(x)$ $Y=X^2$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{y}} (f_{X} (\sqrt{y}) + f_{X} (- \sqrt{y})) & y \geq 0 \\ 0 & y < 0 \end{cases}

$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right) & y \ge 0 \\ 0 & y \lt 0\end{cases}$

我了解背后的原因。但我正在尝试寻找一种方法来向不了解微积分的人进行解释。特别是，我试图解释为什么出现在前面。我会刺一下它： $\frac{1}{\sqrt{y}}$

假设具有高斯分布。pdf的几乎所有权重都在值之间，例如和但是对于，它映射到0到9 。因此，在将转换为的pdf中，权重已扩展到更大范围的值。因此，为真正的pdf，必须通过乘数来降低额外的权重 $X$ $-3$ $3.$ $Y$ $X$ $Y$ $f_Y(y)$ $\frac{1}{\sqrt{y}}$

听上去怎么样？

如果有人能提供更好的解释或链接到文档或教科书中的内容，我将不胜感激。我在几本数学概论/统计入门书籍中找到了这个变量转换示例。但是我从来没有找到一个直观的解释:(

random-variable pdf intuition

— Lowndrul
source

我认为您的解释是正确的。

— highBandWidth 2011年

解释是正确的，但纯粹是定性的：乘法因子的精确形式仍然是个谜。-1/2力量简直神奇地出现了。因此，在某种程度上，您必须做与微积分相同的事情：找到平方根函数的变化率。

— ub

Answers:

PDF是高度，但它们用于通过面积表示概率。 因此，它有助于以提醒我们面积等于高度乘以基数的方式来表达PDF。

最初，任意值的高度都由PDF。基数是无穷，因此分布（即，与分布函数相对的概率测度）实际上是微分形式或“概率元素”， $x$ $f_X(x)$ $dx$

{PE}_{X} (x) = f_{X} (x) d x .

$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx.$

您要在概念上和实践上都使用此对象而不是PDF，因为它明确包含了表达概率所需的所有元素。

当我们根据重新表达时，基段会被拉伸（或压缩）：通过将到区间的两端平方，我们看到区域的基点必须是长度间隔 $x$ $y = x^2$ $dx$ $x$ $x + dx$ $y$

d y = (x + d x)^{2} - x^{2} = 2 x d x + (d x)^{2} .

$dy = (x + dx)^2 - x^2 = 2 x \, dx + (dx)^2.$

由于与无穷小数本身相比，两个无穷小数的乘积微不足道，我们得出结论

d y = 2 x d x, whence d x = \frac{d y}{2 x} = \frac{d y}{2 \sqrt{y}} .

$dy = 2 x \, dx, \text{ whence }dx = \frac{dy}{2x} = \frac{dy}{2\sqrt{y}}.$

确定了这一点之后，计算就变得微不足道了，因为我们只是插入了新的高度和新的宽度：

{PE}_{X} (x) = f_{X} (x) d x = f_{X} (\sqrt{y}) \frac{d y}{2 \sqrt{y}} = {PE}_{Y} (y) .

$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx = f_X(\sqrt{y}) \frac{dy}{2\sqrt{y}} = \operatorname{PE}_Y(y).$

因为以的底数是，所以乘以它必须是高度，我们可以直接从中间项中读取为 $y$ $dy$

\frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = f_{Y} (y) .

$\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y}) = f_Y(y).$

式实际上是面积守恒定律（=概率）。 $\operatorname{PE}_X(x) = \operatorname{PE}_Y(y)$

两个PDF

该图形准确地显示了与相关的两个PDF的窄块（几乎是无穷小）。概率由阴影区域表示。由于通过平方压缩间隔，红色区域（左侧的）的高度必须按比例扩大以匹配蓝色区域（右侧的）的面积。 $y=x^2$ $[0.32, 0.45]$ $y$ $x$

— ub
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我爱无穷小。这是一个很好的解释。用进行思考比用思考要直观得多，该可以清楚地看出是从变换的派生而来的。我认为这就是我的症结所在。

2 x

$2x$

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$

— lowndrul

@whuber，我相信您的第一行应该是吗？这是吗？PS：也对您对我的答案的想法感到好奇（下）。

P (X \in (x, x + d x)) = f_{x} (x) d x

$P(X \in (x, x + dx)) = f_{x}(x)dx$

{pdf}_{X} (x)

$\text{pdf}_{X}(x)$

— 卡洛斯的Cinelli

@Carlos首先要表达我的想法，但要严格一些：PDF是将Lebesgue测度乘以得到给定的概率测度。

d x

$\mathrm{d}x$

— 嘘

@whuber，但是如果pdf是您要乘的pdf，则它是术语，而不是您所写的乘积，对吗？目前尚不清楚为什么将产品称为pdf。

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

f_{x} (x) d x

$f_{x}(x)dx$

f_{X} (x) d x

$f_{X}(x)dx$

— Carlos Cinelli

@Carlos：谢谢；现在我明白你的意思了。我进行了一些修改以解决此问题。

— ub

如果我制造的物体总是正方形，又知道正方形的边长分布，该怎么办？关于正方形的面积分布我能说些什么？

特别是，如果我知道随机变量的分布，那么关于我能说什么？您可以说的一件事是 $X$ $Y = X^{2}$

\begin{aligned} F_{Y} (c) & = & P (Y \leq c) \\ = & P (X^{2} \leq c) \\ = & P (- \sqrt{c} \leq X \leq \sqrt{c}) \\ = & F_{X} (\sqrt{c}) - F_{X} (- \sqrt{c}) . \end{aligned}

$\eqalign{ F_{Y} (c) & = & P( Y \le c ) \\ & = & P( X^{2} \le c ) \\ & = & P ( - \sqrt{c} \le X \le \sqrt{c}) \\ & = & F_{X}( \sqrt{c} ) - F_{X}( - \sqrt{c} ). \\ }$

因此在 CDF和的CDF之间建立了关系; 它们的PDF之间有什么关系？为此，我们需要微积分。取双方的导数会给您想要的结果。 $Y$ $X$

— 血吸虫病
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（+1）尽管这不是一个完整的答案，但它为找到提供了一个好方法，并清楚地说明了为什么它是两部分之和，每个平方根一个。

f_{Y}

$f_Y$

— ub

我不明白为什么pdf（x）= f（x）dx。pdf（x）dx = f（x），density = prob mass/interval...我怎么了？

— 费尔南多

假设我们有一个人口，是该人口的汇总。然后计算范围中具有变量的个体的比例。您可以将其视为大小的“容器”，我们正在计算该容器中有多少个人。 $Y$ $P(Y \in (y, y + \Delta y))$ $Y$ $(y, y + \Delta y)$ $\Delta y$

现在，让我们根据另一个变量重新表达这些个体。假设我们知道和的关系为，则事件与事件与事件。因此，位于垃圾箱的个体也必须位于垃圾箱和。换句话说，这些垃圾箱必须有相同比例的个人， $X$ $Y$ $X$ $Y = X^2$ $Y\in (y, y + \Delta y)$ $X^2 \in (x^2, (x + \Delta x)^2)$ $X \in (|x|, |x| + \Delta x)~ \text{or}~ X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )$ $(y, y + \Delta y)$ $(|x|, |x| + \Delta x)$ $(- |x| -\Delta x, -|x| )$

\begin{aligned} P (Y \in (y, y + Δ y)) & = P (X \in (| x |, | x | + Δ x)) + P (X \in (- | x | - Δ x, - | x |)) \end{aligned}

$\begin{align} P(Y \in (y, y + \Delta y)) &=P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )\right) \end{align}$

好的，现在让我们开始讨论密度。首先，我们需要定义什么是概率密度。顾名思义，它是每个区域中个人的比例。也就是说，我们计算该垃圾箱上的个人份额，然后除以垃圾箱的大小。由于我们已经确定这里的人口比例是相同的，但是垃圾箱的大小已更改，因此我们得出结论，密度将有所不同。但是相差多少呢？

就像我们说过的那样，概率密度是垃圾箱中人员的比例除以垃圾箱的大小，因此的密度由。类似地，的概率密度由。 $Y$ $f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y}$ $X$ $f_X(x):=\frac{P(X \in (x, x + \Delta x))}{\Delta x}$

根据我们先前的结果，每个垃圾箱中的人口都是相同的，

\begin{aligned} f_{Y} (y) := \frac{P (Y \in (y, y + Δ y))}{Δ y} & = \frac{P (X \in (| x |, | x | + Δ x)) + P (X \in (- | x | - Δ x, - | x |))}{Δ y} \\ = \frac{f_{X} (| x |) Δ x + f_{X} (- | x |) Δ x}{Δ y} \\ = \frac{Δ x}{Δ y} (f_{X} (| x |) + f_{X} (- | x |)) \\ = \frac{Δ x}{Δ y} (f_{X} (\sqrt{y}) + f_{X} (- \sqrt{y})) \end{aligned}

$\begin{align} f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y} &= \frac{P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| - \Delta x, -|x| )\right)}{\Delta y} \\ &= \frac{f_X(|x|)\Delta x + f_{X}(-|x|)\Delta x}{\Delta y}\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(|x|) + f_{X}(-|x|) \right)\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y}) \right) \end{align}$

也就是说，密度改变因数，这是拉伸的相对大小或挤压垃圾箱大小。在我们的例子中，由于，所以我们有。如果足够小，我们可以忽略，这意味着和，这就是为什么出现在变换中的原因。 $f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y})$ $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ $y = x^2$ $y + \Delta y = (x + \Delta x )^2 = x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2$ $\Delta x$ $\Delta x ^2$ $\Delta y = 2x \Delta x$ $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}}$ $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$

— 卡洛斯·辛内利
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