了解分数微分公式

我有一个时间序列，我想它建模为一个分整（又名FARIMA）过程。如果y t是（分数）阶d的积分，我想对其进行分数差分以使其固定。$y_t$$y_t$$d$

问题：以下定义分数微分的公式正确吗？

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

（这里$\Delta^d$顺序的表示分数差分。）$d$

我根据该维基百科上有关ARFIMA的文章（第ARFIMA（），但是不确定是否正确。$0,d,0$

是的，这似乎是正确的。分数滤波器由二项式展开式定义：

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

请注意，是滞后算子，并且当0 < d < 1时，不能简化此滤波器。现在考虑一下过程：$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

扩展，我们得到：

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

可以写成：

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

有关更多参考，请参见Stephen J. Taylor的《资产价格动态，波动性和预测》（2007年第243页）或Brockwell和Davis的《时间序列：理论与方法》。