所以这个问题有点混乱，但是我将提供彩色图表来弥补这一点！首先是背景，然后是问题。

背景

假设您有维多项式分布，并且在类别上的Probailites相等。令是该分布的归一化计数（），即：$n$$n$$\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)$$c$

现在上的分布已支持n -simplex，但具有离散步骤。例如，对于n = 3，此分布具有以下支持（红点）：$\pi$$n$$n = 3$

具有类似支持的另一个分布是维分布，即单位单纯形上的均匀分布。例如，这是一个3维 1，1，1）的随机抽奖：狄利克雷（1 ，... ，1 ）狄利克雷（1 ，1 ，1 $n$$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\text{Dirichlet}(1, 1, 1)$

现在我有了一个想法，即分布中的分布可以被描述为来自离散化为的离散支持。我想到的离散化（似乎很好用）是将单纯形中的每个点取整并“舍入”到支持的最接近点。对于3维单纯形，您将获得以下分区，其中每个有色区域中的点应“舍入”到最接近的红点：$\pi$$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\pi$$\pi$

由于狄利克雷分布是均匀的，因此每个点的最终密度/概率与“四舍五入”到每个点的面积/体积成比例。对于二维和三维情况，这些概率为：

（这些概率来自蒙特卡洛模拟）

这样看来，至少对于2维和3维，以这种特殊方式离散化所得到的概率分布与的概率分布相同。那就是分布的标准化结果。我也尝试过使用4维，并且似乎可以使用。$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\pi$$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

问题

所以我的主要问题是：

当以这种特定方式离散化统一Dirichlet时，与适用于进一步的尺寸？关系是否成立？（我仅使用蒙特卡洛模拟方法尝试过此方法...）$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

我进一步想知道：

• 如果这种关系成立，那么结果是否已知？我可以为此提供一些资料吗？
• 如果均匀Dirichlet的离散化与多项式没有这种关系。是否有类似的构造？

一些背景

我问这个问题的原因是，我正在研究非参数Bootstrap与贝叶斯Bootstrap之间的相似性，然后才提出来。我还注意到，上面3维单形上的彩色区域上的图案看起来像（应该是）Voronoi图。您可以考虑的一种方式（我希望）是作为Pascal的Triangle / Simpex的序列（http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pascalssimplices.html）。在2-d情况下，着色区域的大小遵循Pascal三角形的第二行，在3-d情况下，着色区域的大小遵循Pascal四面体的第三行，依此类推。这可以解释与多项式分布的关系，但是在这里我真的很陷入困境……

那些两个分布是每个不同。$n \geq 4$

符号

我将按比例缩放单形，以便晶格点具有整数坐标。这并没有改变任何东西，我只是认为它使符号的使用不再那么麻烦。$n$

让是（Ñ - 1 ）单纯形，给出的点的凸包（Ñ ，0 ，... ，0 ），...， （0 ，... ，0 ，Ñ ）在ř Ñ。换句话说，它们是所有坐标均为非负且坐标之和为n的点。$S$$(n-1)$$(n,0,\ldots,0)$$(0,\ldots,0,n)$$\mathbb R^{n}$$n$

令表示晶格点集合，即S中所有坐标都是积分的点。$\Lambda$$S$

如果是晶格点，则让V P表示其Voronoi单元，定义为S中与Λ中的其他点相比（严格）更接近P的那些点。$P$$V_P$$S$$P$$\Lambda$

我们放置两个可以放在上的概率分布。一个是多项分布，其中，所述点（一个1，。。。，一Ñ）具有概率2 - Ñ Ñ ！/（a 1！⋯ a n！）。另一方面，我们将调用狄利克雷模型，并将其分配给每个P ＆Element; Λ正比于体积的概率V P。$\Lambda$$(a_1, ..., a_n)$$2^{-n} n!/(a_1! \cdots a_n!)$$P \in \Lambda$$V_P$

非常非正式的理由

我声称多项模型和狄氏模型给出不同的分布，每当ñ ≥ 4。$\Lambda$$n \geq 4$

看到这一点，考虑的情况下，以及点甲= （2 ，2 ，0 ，0 ）和乙= （3 ，1 ，0 ，0 ）。我声称V 甲和V 乙经由翻译是全等的由矢量（1 ，- 1 ，0 ，0 ）。这意味着V A和V $n=4$$A = (2,2,0,0)$$B=(3,1,0,0)$$V_A$$V_B$$(1,-1,0,0)$$V_A$$V_B$具有相同的体积，因此Dirichlet模型中和B具有相同的概率。在另一方面，在多项式模型，它们具有不同的概率（2 - 4 ⋅ 4 ！/（2 ！2 ！）和2 - 4 ⋅ 4 ！/ 3 ！），和它遵循的分布可以不相等。$A$$B$$2^{-4} \cdot 4!/(2!2!)$$2^{-4} \cdot 4!/3!$

和V B完全相同的事实来自以下合理但不明显（且有些含糊）的主张：$V_A$$V_B$

合理的权利要求：形状和尺寸只受的“近邻” P，（即，在这些点Λ，其不同于P由矢量看起来像（1 ，- 1 ，0 ，... ，0 ），其中1和− 1可能在其他地方）$V_P$$P$$\Lambda$$P$$(1,-1,0,\ldots,0)$$1$$-1$

不难看出，和B的“直接邻居”的配置是相同的，因此可以得出V A和V B是一致的。$A$$B$$V_A$$V_B$

万一，我们可以发挥同样的游戏，用甲= （2 ，2 ，Ñ - 4 ，0 ，... ，0 ）和乙= （3 ，1 ，Ñ - 4 ，0 ，... ，0 ），例如。$n \geq 5$$A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$$B=(3,1,n-4,0,\ldots,0)$

我认为这种说法并不完全明显，我也不会证明它，而是会采用略有不同的策略。不过，我认为这是一个更直观的答案，为什么分布是不同的。$n \geq 4$

严格的证明

采取和乙如在上面的非正式理由。我们只需要证明V A和V B是全等的即可。$A$$B$$V_A$$V_B$

给出，我们将定义w ^ P如下：w ^ P是点的集合（X 1，... ，X Ñ）∈ 小号，为此，最大1 ≤ 我≤ Ñ（一个我 - p 我）- 分钟1 ≤ 我≤ ñ（一个$P = (p_1, \ldots, p_n) \in \Lambda$$W_P$$W_P$$(x_1, \ldots, x_n) \in S$。（在更易消化方式：令 v 我 = 一个我 - p 我。 W¯¯ P是点的集合的量，最高和最低之间的差 v 我是小于1）$\max_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) - \min_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) < 1$$v_i = a_i - p_i$$W_P$$v_i$

我们将证明，。$V_P = W_P$

步骤1

权利要求： 。$V_P \subseteq W_P$

这相当简单：假设不在W P中。让v 我 = X 我 - p 我，并且假设（不失一般性），该v 1 = 最大值1 ≤ 我≤ Ñ v 我，v 2 = 分钟1 ≤ 我≤ Ñ v 我。v 1 − v $X = (x_1, \ldots, x_n)$$W_P$$v_i = x_i - p_i$$v_1 = \max_{1\leq i\leq n} v_i$$v_2 = \min_{1\leq i\leq n} v_i$由于 Σ Ñ 我= 1 v 我 = 0，我们也知道， v 1 > 0 > v 2。$v_1 - v_2 \geq 1$$\sum_{i=1}^n v_i = 0$$v_1 > 0 > v_2$

现在让。由于P和X都具有非负坐标，所以不Q，接下去就是Q ∈ 小号，所以Q ∈ Λ。在另一方面，ð 我小号吨 2（X ，P ）- d 我小号吨$Q = (p_1 + 1, p_2 - 1, p_3, \ldots, p_n)$$P$$X$$Q$$Q \in S$$Q \in \Lambda$。因此， X是至少尽可能接近 Q为 P，所以 X ∉ V P。这表明（通过补充）$\mathrm{dist}^2(X, P) - \mathrm{dist}^2(X, Q) = v_1^2 + v_2^2 - (1-v_1)^2 - (1+v_2)^2 = -2 + 2(v_1 - v2) \geq 0$$X$$Q$$P$$X \not\in V_P$。$V_p \subseteq W_P$

第2步

要求：成对不相交。$W_P$

Suppose otherwise. Let $P=(p_1,\ldots, p_n)$ and $Q = (q_1,\ldots,q_n)$ be distinct points in $\Lambda$, and let $X \in W_P \cap W_Q$. Since $P$ and $Q$ are distinct and both in $\Lambda$, there must be one index $i$ where $p_i \geq q_i + 1$, and one where $p_i \leq q_i - 1$. Without loss of generality, we assume that $p_1 \geq q_1 + 1$, and $p_2 \leq q_2 - 1$. Rearranging and adding together, we get $q_1 - p_1 + p_2 - q_2 \geq 2$.

Consider now the numbers $x_1$ and $x_2$. From the fact that $X \in W_P$, we have $x_1 - p_1 - (x_2 - p_2) < 1$. Similarly, $X \in W_Q$ implies that $x_2 - q_2 - (x_1 - q_1) < 1$. Adding these together, we get $q_1 - p_1 + p_2 - q_2 < 2$, and we have a contradiction.

Step 3

We have shown that $V_P \subseteq W_P$, and that the $W_P$ are disjoint. The $V_P$ cover $S$ up to a set of measure zero, and it follows that $W_P = V_P$ (up to a set of measure zero). [Since $W_P$ and $V_P$ are both open, we actually have $W_P = V_P$ exactly, but this is not essential.]

Now, we are almost done. Consider the points $A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$ and $B = (3,1,n-4,0,\ldots,0)$. It is easy to see that $W_A$ and $W_B$ are congruent and translations of each other: the only way they could differ, is if the boundary of $S$ (other than the faces on which $A$ and $B$ both lie) would ``cut off'' either $W_A$ or $W_B$ but not the other. But to reach such a part of the boundary of $S$, we would need to change one coordinate of $A$ or $B$ by at least 1, which would be enough to guarantee to take us out of $W_A$ and $W_B$ anyway. Thus, even though $S$ does look different from the vantage points $A$ and $B$, the differences are too far away to be picked up by the definitions of $W_A$ and $W_B$, and thus $W_A$ and $W_B$ are congruent.

It follows then that $V_A$ and $V_B$ have the same volume, and thus the Dirichlet model assigns them the same probability, even though they have different probabilities in the multinomial model.