仍然是同一族的两个随机非法线的线性组合

众所周知，两个随机正态变量的线性组合也是一个随机正态变量。是否有任何共同的非正态分布族（例如Weibull）也共享此属性？似乎有许多反例。例如，制服的线性组合通常不是均匀的。特别是，是否存在以下两个都成立的非正态分布族：

来自该族的两个随机变量的线性组合等效于该族中的某些分布。
可以根据原始参数和线性组合中的常数来确定结果参数。

我对这种线性组合特别感兴趣：

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

其中和是从某个具有参数和非正常族中采样的，而来自同一个具有参数非正规族。 $X_1$ $X_2$ $\theta_1$ $\theta_2$ $Y$ $\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

为了简单起见，我将描述一个带有1个参数的发布系列，但是我愿意接受带有多个参数的发布系列。

另外，我正在寻找一个示例，其中和上有足够的参数空间可用于模拟目的。如果您只能找到一个适用于某些非常特定的和的示例，那将没有太大帮助。 $\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$

distributions linear

— 安东尼
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谢谢。我真的在寻找普通的非正常家庭（例如，威布尔）。我还将尝试阐明，对于各种各样的原始参数，结果参数应该是原始参数的函数。也就是说，应该有足够的参数空间可用于仿真目的。

— 安东尼

假设我们正在谈论独立随机变量的任意线性组合，则存在（Lévy）稳定分布。这种分布的整个类别都可以通过采用某种形式的特征函数来充分表征。只有少数具有已知闭合形式表达式的密度。

— 2015年

@cardinal提到的alpha稳定值是一个答案，如果我正确理解的话，唯一的答案是要求参数是位置和比例，但是如果参数不需要是位置+比例，还有其他答案吗？（尽管这可能与OP所希望的相去甚远，这应该是一个单独的问题）。

— 的Juho Kokkala

即使参数不是位置和比例，我也对答案感兴趣。

— 安东尼

@Juho我相信总的来说答案是肯定的。分布的总和对应于累积量生成函数的（逐点）总和（定义为特征函数的对数），因此求和下的一组分布的闭包自然包含在（实）线性组合的所有分布的集合中这些CGF的。

— ub

Answers:

众所周知，两个随机法线变量的线性组合也是一个随机法线变量。是否有任何共同的非正态分布族（例如Weibull）也共享此属性？

正态分布满足一个很好的卷积身份： $X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$ 。如果要引用中心极限定理，则例如，具有相同形状系数的那些伽玛分布将共享该性质，并卷积为伽玛分布。请参阅有关调用中心极限定理的警告说明。然而，通常，在形状系数不相等的情况下，伽马分布将通过卷积“相加”，该卷积不是伽马分布，而是伽马函数乘以第一种超几何函数，如公式2中所示。（2）两个伽玛分布的卷积。添加的另一种定义（即形成无关过程的混合分布）不一定会表现出任何中心限制，例如，如果均值不同的话。

可能还有其他示例，我没有进行详尽的搜索。卷积的闭合似乎并不遥不可及。对于线性组合，Pearson VII与Pearson VII的乘积是另一个Pearson VII。

— 卡尔
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您可以添加具有相同比例参数的不相关的Gammas随机变量，并获得具有相同比例参数的另一个gamma，但是您不能采用任意线性组合。有许多众所周知的分布，您可以为它们求和，但不能取任意线性组合，并留在该族中。（这里已经有一个删除的答案，

— 犯

的确，两个伽马分布的卷积见式。2，这就是您所要表达的，而不是伽马分布。

— 卡尔，

该文章明确指出，伽玛的线性组合不是伽玛（除了我已经提到的相同的例外），并且看起来与我所说的完全一致。我不确定您要问我什么，但是本文支持我的说法，即您的答案似乎断言了事实并非如此。

— Glen_b-恢复莫妮卡

不问，总的来说是多少。我修改了答案，说“一些”。如果那还不够好，我将删除我谦虚的帮助尝试。我问：“足够好吗？”

— 卡尔，

现在，答案还有些不足。您可能希望将一些信息从评论中移至答案（与论文内容及其链接相关的信息，至少，尽管我会提供适当的参考）

— Glen_b -Reinstate Monica

众所周知，两个随机法线变量的线性组合也是一个随机法线变量。是否有任何共同的非正态分布族（例如Weibull）也共享此属性？

$\mathscr{P}$ $\mathcal{P} \in \mathscr{P}$

X_{1个} ， X_{2} ， X_{3} 〜 IID P ⟹ （ \forall 一个 ） （ \forall b ） （ \exists C > 0 ） （ \exists d ） ： 一个 X_{1个} + b X_{2} \overset{距离}{〜} C X_{3} + d 。

$X_1, X_2, X_3 \sim \text{IID } \mathcal{P} \quad \quad \implies \quad \quad (\forall a) (\forall b) (\exists c>0) (\exists d): \ aX_1 + bX_2 \overset{\text{Dist}}{\sim} c X_3 + d.$

$d=0$

Levy稳定分布本身可以被认为是一个分布族，从这个意义上讲，它是唯一具有这种稳定性的分布族，因为（按定义）它包含了所有具有此稳定性的分布。正态分布属于Cayy分布，Landau分布和Holtsmark分布，也属于Levy稳定分布。

— Ben-恢复莫妮卡
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