分布到底是什么？

我对概率统计不了解，并且希望学习。我看到“分布”一词在不同的上下文中到处使用。

例如，离散随机变量具有“概率分布”。我知道这是什么连续随机变量具有概率密度函数，则对于，概率密度函数从到的积分是在评估的累积分布函数。 $x\in\mathbb{R}$ $-\infty$ $x$ $x$

显然，至少在谈论连续随机变量时，“分布函数”与“累积分布函数”同义（问题：它们是否总是同义词？）。

然后是许多著名的发行。分布分布，等等。但是分布到底是什么？它是随机变量的累积分布函数吗？还是随机变量的概率密度函数？ $\Gamma$ $\chi^2$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$

但是，有限数据集的频率分布似乎是直方图。

长话短说：在概率统计中，“分布”一词的定义是什么？

我知道数学中的分布定义（配备归纳极限拓扑的测试函数集合的对偶空间的一个元素），而不是概率和统计。

distributions definition

— 丹济布
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相应的Wikipedia文章似乎是对该主题的不错介绍。

— Aleksandr Blekh

严格来说，“ distribution”和“ cdf”应被视为同义词，但“ distribution”通常在较宽松的意义上使用，并且通常用于实际指代密度/ pmf。

— Glen_b-恢复莫妮卡2015年

您对分布的理解非常接近概率分布。主要的区别是那些有概率的人具有一些其他属性（为正数并归一化为统一数）。连接是您的定义根据关联的期望运算符建立了分布。统计中还普遍存在对语言的（严重）滥用，这也称参数化分布族为“分布”。最后，任何有限数据集都会确定通过对其采样而获得的分布，即“经验分布”。

— whuber

@whuber，这特别有帮助，特别是语言的滥用。就像调用一个函数的不确定积分...一个函数一样。

— danzibr

具有很好的答案类似的问题： stats.stackexchange.com/questions/210403/...

— 的Kjetil b HALVORSEN

Answers:

以下是值随机变量。如果您有兴趣，可以直接扩展到其他空格。我认为，与单独考虑密度，质量和累积分布函数相比，以下更一般的定义更直观。 $\mathbb R-$

我在文本中加入了一些数学/概率术语以使其正确。如果不熟悉这些术语，则只需将“桶组”视为“ 我能想到的任何子集”，而将随机变量视为某个实验的数值结果，就可以很好地理解直觉。相关概率。 $\mathbb R$

让是一个概率空间和的值对这个空间随机变量。 $\left( \Omega, \mathcal F, P \right)$ $X(\omega)$ $\mathbb R-$

该组函数，其中是波雷尔集，被称为分布。 $Q(A):=P\left(\omega \in \Omega : X(\omega) \in A\right)$ $A$ $X$

换句话说，对于任何子集，分布（轻松地说）告诉您占据该集合中某个值的概率。人能证明完全由函数确定，并且反之亦然。要做到这一点-我在这里跳过细节-构建对分配的概率博雷尔集措施对所有组并认为这个有限的措施与同意上 $\mathbb R$ $X$ $Q$ $F(x):=P(X\leq x)$ $F(x)$ $(-\infty, x)$ $Q$ 系统生成的Borel代数。 $\pi-$ $\sigma-$

如果恰巧可以写成则是一个密度函数，你可以看到，虽然这密度不是唯一确定的（考虑改变Lebesgue集的集合为零），也可以将称为的分布。通常，我们称其为的概率密度函数。 $Q(A)$ $Q(A) =\int_Af(x)dx$ $f$ $Q$ $f$ $X$ $X$

同样，如果它恰巧可以写为，然后是有意义的发言的分布，尽管我们通常将其称为概率质量函数。 $Q(A)$ $Q(A)=\sum_{i\in A\cap\{\dots,-1,0,1,\dots\}}f(i)$ $f$ $X$

因此，无论何时读类似“ 如下上的均匀分布 ”，它简单地意味着该函数，它告诉你的概率呈现在某些组的值，其特征在于所述概率密度函数或累积分布函数 $X$ $[0,1]$ $Q(A)$ $X$ $f(x)=I_{[0,1]}$ 。 $F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$

关于未提及随机变量而仅提及分布的情况的最后说明。可以证明给定一个分布函数（或质量，密度或累积分布函数），存在一个具有随机变量的概率空间，具有该分布。因此，关于分布或具有该分布的随机变量在本质上没有区别。这只是一个人的问题。

— 埃克瓦尔
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设为概率空间，设为可测量空间，设为可测量函数，这意味着每。的分布是概率测度 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $(\mathscr{X},\mathscr{B})$ $X:\Omega\to\mathscr{X}$ $X^{-1}(B)=\{\omega:X(\omega)\in B\}\in\mathscr{F}$ $B\in\mathscr{B}$ $X$ 超过由下式定义。当并且是Borel sigma-field时，我们将函数称为随机“变量”。 $\mu_X$ $(\mathscr{X},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P(X\in B)$ $\mathscr{X}=\mathbb{R}$ $\mathscr{B}$ $X$

— 禅
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必须对几乎不了解概率和统计信息的人非常清楚:)

— Alexey Grigorev'Aug

好吧，OP似乎知道一些高级数学知识，例如“配备感应极限拓扑的测试功能集合的双重空间元素”。检查他的问题的结尾。

— 禅

对我来说确实是一个很好的回应。我需要检查概率空间的定义，但对于具有数学背景的人来说，这很清楚。我很欣赏答案的简洁性，只是由于另一个答案中的细节而不接受它。

— danzibr

到目前为止，问题和答案似乎都集中在理论分布上。经验分布可以更直观地了解分布。

例

在课堂上使用跳绳比赛时，我们观察了所有在课堂上使用跳绳的孩子。第一个孩子可以跳两次，第二个可以跳四次，第二个可以跳十五次，等等。我们记录下跳跃的次数。其中五个孩子各跳了八次，但只有一个孩子跳了两次。我们说跳跃八次与跳跃两次的分布不同。

观察到的分布的表面上定义是变量的每个观察到的值的出现频率。

然后，在推论统计中，我们尝试使理论分布适合观察到的分布，因为我们希望使用理论分布的假设。通过将“已观察”替换为“可观察”或更准确地说：“期望”，可以达到理论分布的类似定义。

— 本体的
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