如何计算OLS多元回归的预测间隔？

计算多元回归的预测间隔的代数符号是什么？

听起来很傻，但是我很难找到一个清晰的代数符号。

multiple-regression least-squares prediction-interval

— 麦可
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以观测值和回归数作为回归模型： $N$ $k$

y = X β + u

$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$

给定向量 $\mathbf{x_0}$ ，该观测值的预测值为

E [y | x_{0}] = {\hat{y}}_{0} = x_{0} \hat{β} .

$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$ 此预测的方差的一致估计是

{\hat{V}}_{p} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'},

$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$ 其中

s^{2} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} {\hat{u}}_{i}^{2}}{N - k} .

$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$ 对于特定的预测误差

y_{0}

$y_0$ 是

\hat{e} = y_{0} - {\hat{y}}_{0} = x_{0} β + u_{0} - {\hat{y}}_{0} .

$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$

u_{0}

$u_0$ 和

\hat{β}

$\hat \beta$ 之间的零协方差表示

V a r [\hat{e}] = V a r [{\hat{y}}_{0}] + V a r [u_{0}],

$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$ 并且它的一个一致估计是

{\hat{V}}_{F} = s^{2} \cdot X_{0} \cdot （ X^{'} X ）^{- 1个} X_{0}^{'} + s^{2} 。

$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$

的 $1-\alpha$ $\rm confidence$ 间隔将是：

ÿ_{0} \pm Ť_{1个 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{p}} 。

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$ 的

1 - α

$1-\alpha$

p r e d i c t i o n

$\rm prediction$ 间隔将是较宽：

ÿ_{0} \pm Ť_{1个 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{F}} 。

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$

— 迪米特里（Dimitriy V. Masterov）
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上面的答案做得很好，但是我认为这个来源有助于为问题提供一些背景。

— 六月斯基特（Skeeter）'18

@Dimitriy我相信您的第二个eqn应该在上方有一个胡萝卜/帽子'^' 。

β

$\beta$

— Don Slowik

预测误差是否不是残差：？

\hat{e} = \hat{u}

$\hat{e}=\hat{u}$

— Don Slowik