此发行版有名称吗？或什么可能会产生随机过程？

具有质量函数的离散分布

p （ X; ķ ） = \frac{ķ}{（ X + ķ ） （ X + ķ - 1个 ）} ， X = 1个 ， 2 ， \dots

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$

出现第9页本文。

对于它是带有的Yule-Simon分布，但是我没有找到其他示例。 $k=1$ $\rho=1$

它有名字吗？它是否出现在其他任何上下文中？是否有可能会产生一个简单的随机过程？

distributions

— 西蒙·伯恩
source

这是一个离散的幂定律。

（这是一个描述-其含义将在下面进行精确说明 -而不是一个技术术语。“离散功率法”一词的技术含义略有不同，如@Cardinal在对此答案的注释中所示。）

为此，请注意可以写出部分分数分解

p （ X; ķ ） = \frac{ķ}{（ X + ķ ） （ X + ķ - 1个 ）} = \frac{1个}{1个 + （ X - 1个 ） / ķ} - \frac{1个}{1个 + X / ķ} 。

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

CDF望远镜变成封闭形式：

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} 。 \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

（顺便说一下，因为它很容易反转，所以它立即提供了一种从该分布生成随机变量的有效方法：只需计算，其中均匀分布在） $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ $u$ $(0,1)$

将此表达式与区分，说明了CDF如何写为整数， $i$

CDF （ 一世 ） = \frac{一世}{一世 + ķ} = \int_{0}^{一世} \frac{d Ť / ķ}{（ 1个 + Ť / ķ ）^{2}} = \sum_{X = 1个}^{一世} \int_{X - 1个}^{X} \frac{d Ť / ķ}{（ 1个 + Ť / ķ ）^{2}} ，

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

何处

p （ X; ķ ） = \int_{X - 1个}^{X} \frac{d Ť / ķ}{（ 1个 + Ť / ķ ）^{2}} 。

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

这种书写形式将表示为由密度确定的（连续）分布族的比例参数 $k$

F （ ξ ） d ξ = （ 1个 + ξ ）^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

并显示是的离散化版本（按缩放，该离散化版本是通过积分从到的区间上的连续概率而获得的。这显然是幂指数为的幂定律。此观察使您可以进入有关幂律及其在科学，工程和统计学中如何产生的大量文献，这可能为您最后两个问题提供许多答案。 $p(x;k)$ $f$ $k$ $x-1$ $x$ $-2$

— ub
source

（+1）从概率质量函数中可以明显看出，为，这似乎足以推断出它是幂律分布。实际上，为。

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$

x \to \infty

$x \to \infty$

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$

x \to \infty

$x \to \infty$

— 主教

@cardinal你是对的，但是这个说法有一个局限性：它只表明是渐近幂律。计算结果表明，这正是一个功法的离散版本。

p

$p$

— ub

对于您要区分的区别，我不太确定。不幸的是，我没有机会仔细考虑它，但是看来您正在定义一个离散的幂定律分布，它是连续幂定律分布的离散化版本。我是否正确解释了您的评论？无论如何，当我在文献中看到离散功率定律时，通常的定义似乎是我所使用的较弱的（即渐近）。（续）

— 主教

（续）另一方面，Zipf分布似乎尽可能纯净的离散幂定律，但我不认为它可以作为连续幂定律的离散化而生成。我误解了你的意图吗？（顺便说一句，您在上面的开发相当不错。对cdf的伸缩总和的识别非常好，对简单采样方案的识别也是如此。）

— 红衣主教，

好吧，经过更多的调查，我发现了更多细节。

这是几何分布与Beta的连续混合的特例，因此可以称为Beta-几何分布。具体来说，如果：和：则的边际分布具有此分布。因此，这是Beta负二项式分布的特例。

P 〜 乙 Ë Ť 一个 （ 1个 ， ķ ）

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$

X | P 〜 G Ë Ø 米 Ë Ť [R 一世 C （ P ）

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$

Y = X + 1

$Y = X+1$

它还具有其他一些有趣的属性：

它具有无限的均值
它描述了它自己的尾部分布：如果具有参数分布，则，具有参数。 $X$ $k$ $X-t | X>t$ $t+k$

— 西蒙·伯恩
source