标准化变量的协方差是否具有相关性？

我有一个基本问题。说我有两个随机变量，和。我可以通过减去平均值并除以标准偏差来对它们进行标准化，即。 $X$ $Y$ $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$

是的相关和，，一样的标准版本的协方差和？也就是说，吗？ $X$ $Y$ $Cor(X, Y)$ $X$ $Y$ $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$

correlation covariance standardization

— 杰克·费舍尔
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是。

${}{}{}{}{}$

— Dilip Sarwate 2015年

所以，是的！

\begin{aligned} corr (X, Y) & = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \\ Cov (X_{standardized}, Y_{standardized}) & = E [(\frac{(X - E (X))}{(S D (X))} - 0) \times (\frac{(Y - E (Y))}{(S D (Y))} - 0)] \\ = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$

— 鲁曼（Hemant Rupani）
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什么？？？？第一个方程的右侧是一个随机变量，而左侧是一个常数。

— Dilip Sarwate 2015年

错误号问题是随机变量的相关性和协方差，而答案是样本相关性和协方差。例如，询问的结果对于连续随机变量成立，而充其量您只能将离散变量应用于具有相等概率

值

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$

。

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

— Dilip Sarwate 2015年

不完全的。您根本不需要下标

，因此我继续删除了它们，并稍微改进了演示文稿。如果您不喜欢这些更改，请随时回滚。

i

$i$

— Dilip Sarwate 2015年

您正在使SD（X）和SD（Y）超出预期。请进一步解释此步骤的原因。

— Erdogan CEVHER

@Erdogan常量可以直接在Expected（）函数之外使用，而无需更改。

— Hemant Rupani