将随机变量定义为“晶格”的直观含义是什么？

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在概率论中，如果存在使得，则非负随机变量称为晶格。 $X$ $d \geq 0$ $\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$

为什么有这个定义称为晶格的几何解释？

probability

— 用户1398057
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这意味着 $X$ 是离散的，并且它的分布有某种规则的间距；即，概率质量集中在有限/可数的点集 ${d, 2d, 3d, \dots}$ 。

请注意，并非所有离散分布都是晶格。例如，如果可以采用值，则这不是晶格，因为没有，因此所有值都可以表示为倍数。 $X$ $\{1, e, \pi, 5\}$ $d$ $d$

— 洪大井
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该术语将随机变量与用于研究几何对称性的群论概念联系起来。因此，您可能会喜欢看到更一般的联系，这将阐明晶格随机变量的含义和潜在应用。

背景

在数学中，“晶格” 是拓扑组的离散子组（通常假定其具有有限的卷积）。 $\mathcal{L}$ $G$

“离散的”是指各元件周围是一个开集仅含本身：。公平地认为是中点的“模式”或“规则”排列。 $g\in\mathcal{L}$ $\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$ $g$ $\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$ $\mathcal{L}$ $G$
组作用于的“在移动点在周围形成” 轨道出每一个。一个基本域这一行动的包括在每个轨道上的单点。可以配备一个量度（Haar量度），用于测量Borel可测量子集的大小或体积。可以找到一个可测量的基本域。它的体积为体积元的。当它是有限的时，我们可以将视为由该基本域平铺，而将的元素视为四处移动磁砖。 $G$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ $G$ $G$ $G$ $\mathcal{L}$ $G$ $\mathcal{L}$

Figure: Sea Horse (No. 11), M. C. Escher

这些海象中的任何一对-一个在右侧上而另一个在下侧上-可以是欧几里得平面中视觉上明显的晶格的基本范围。 MC Escher，《海马》（第11号）。

A“格子”随机变量被支撑在以格子状。 $X$ $(\mathbb{R}^n, {+})$ 这意味着其所有概率都包含在晶格的闭合中。因为晶格是离散的，它是封闭的，所以的值是在晶格几乎肯定：。 $X$ $\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

应用

该问题隐含的组是实数的附加组及其常规的（欧几里得）拓扑。作为子组，晶格必须包括。仅凭这是不够的，因为商具有无限的体积（在这种1D情况下，“ volume” =“ length”）。因此，存在至少一个非零元素。该元素的所有能力也必须在子组中。由于该操作是加法时，的功率是 $(\mathbb{R}, {+})$ $\mathcal{L}$ $0$ $\mathbb{R}/\{0\}$ $g\in\mathcal{L}$ $n^\text{th}$ $g$ $ng$ 。因此，包含所有整数倍（包括负数）。 $\mathcal{L}$ $g$

如果有两个元件它们不是彼此的权力，很容易显示（使用数论的一个微小的位）（1）的所有组合，对于与有序对和（2）一对一对应，这些组合在中密集，这意味着不是离散的。由此很容易得出结论，中的所有元素都是单数的幂 $h,g\in\mathcal{L}$ $ng+mh$ $n,m\in\mathbb{Z}$ $(m,n)$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ 。 $g$ 这是发电机的。 $\mathcal{L}$

（类似的论点表明中的晶格必须具有生成器。例如，用于Escher水彩画的生成器可以是向下平移两个单位，向下平移一个单位，向右平移一个单位。） $(\mathbb{R}^n, {+})$ $n$

因此，与上的任何实值晶格随机变量对应，必须是生成器， $X$ $(\mathbb{R}, {+})$ $g\ne 0$

\sum_{n = 0}^{\infty} Pr (X = n g) \leq \sum_{n = - \infty}^{\infty} Pr (X = n g) = Pr (X \in L) = 1.

$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$

因此，问题中的定义可以理解为非负晶格变量的定义。我们可能还想规定，否则在子集上支持，该子集具有无穷卷积，不是晶格。 $\Pr(X=0) \lt 1$ $X$ $\{0\}$

概括

正实数构成一个乘法组。该组上的晶格的形式为 $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$ 对于一些。（该晶格的体积元是）。因此，任何随机变量为其 $\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$ $g \gt 0$ $|\log(g)|$ $Y$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} Pr (Y = g^{n}) = 1

$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$

可以认为是该组上的晶格变量。显然，将是上的晶格变量。 $\log(Y)$ $(\mathbb{R}, {+})$

— ub
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