我将描述最通用的解决方案。以这种普遍的方式解决问题，使我们能够实现非常紧凑的软件实现：仅需短短两行R代码即可。
选择一个向量，相同长度的ÿ，根据你喜欢的任何分布。 让ÿ ⊥是最小二乘回归残差的X对Y ^：此提取Ÿ从组件X。通过加回的一个合适的多ý到Ý ⊥，我们可以产生具有任何所需的相关性的矢量ρ与ÿ。高达任意加法常数和正乘法常数-您可以以任何方式自由选择-解决方案是XYY⊥XYYXYY⊥ρY
XY;ρ=ρSD(Y⊥)Y+1−ρ2−−−−−√SD(Y)Y⊥.
（“ ”代表与标准偏差成比例的任何计算。）SD
这是工作R代码。如果不提供，则代码将从多元标准正态分布中提取其值。X
complement <- function(y, rho, x) {
if (missing(x)) x <- rnorm(length(y)) # Optional: supply a default if `x` is not given
y.perp <- residuals(lm(x ~ y))
rho * sd(y.perp) * y + y.perp * sd(y) * sqrt(1 - rho^2)
}
为了说明这一点，我生成了具有50个分量的随机并生成了X Y ；ρ与该Y具有各种特定的相关性。他们都具有相同的起始向量创建X = （1 ，2 ，... ，50 ）。这是他们的散点图。每个面板底部的“地毯”显示共同的Y向量。Y50XY;ρYX=(1,2,…,50)Y
情节之间有惊人的相似之处，不是:-)。
如果您想尝试，这里是产生这些数据和图形的代码。（我不费吹灰之力地自由移动和缩放结果，这很容易操作。）
y <- rnorm(50, sd=10)
x <- 1:50 # Optional
rho <- seq(0, 1, length.out=6) * rep(c(-1,1), 3)
X <- data.frame(z=as.vector(sapply(rho, function(rho) complement(y, rho, x))),
rho=ordered(rep(signif(rho, 2), each=length(y))),
y=rep(y, length(rho)))
library(ggplot2)
ggplot(X, aes(y,z, group=rho)) +
geom_smooth(method="lm", color="Black") +
geom_rug(sides="b") +
geom_point(aes(fill=rho), alpha=1/2, shape=21) +
facet_wrap(~ rho, scales="free")
顺便说一句，这种方法很容易推广到多个：如果在数学上可行，它将找到X Y 1，YY具有规定的相关性与整个集的ÿ我。只需使用普通最小二乘取出所有的效果ÿ我从X和形成所述的一个合适的线性组合ÿ我XY1,Y2,…,Yk;ρ1,ρ2,…,ρkYiYiXYi和残差。（这样做有助于以的对偶为基础，这是通过计算伪逆获得的。后续代码使用Y的SVD 来完成此操作。）YY
这是中的算法示意图R，其中作为矩阵的列给出：Yiy
y <- scale(y) # Makes computations simpler
e <- residuals(lm(x ~ y)) # Take out the columns of matrix `y`
y.dual <- with(svd(y), (n-1)*u %*% diag(ifelse(d > 0, 1/d, 0)) %*% t(v))
sigma2 <- c((1 - rho %*% cov(y.dual) %*% rho) / var(e))
return(y.dual %*% rho + sqrt(sigma2)*e)
对于那些想尝试的人，以下是更完整的实现。
complement <- function(y, rho, x) {
#
# Process the arguments.
#
if(!is.matrix(y)) y <- matrix(y, ncol=1)
if (missing(x)) x <- rnorm(n)
d <- ncol(y)
n <- nrow(y)
y <- scale(y) # Makes computations simpler
#
# Remove the effects of `y` on `x`.
#
e <- residuals(lm(x ~ y))
#
# Calculate the coefficient `sigma` of `e` so that the correlation of
# `y` with the linear combination y.dual %*% rho + sigma*e is the desired
# vector.
#
y.dual <- with(svd(y), (n-1)*u %*% diag(ifelse(d > 0, 1/d, 0)) %*% t(v))
sigma2 <- c((1 - rho %*% cov(y.dual) %*% rho) / var(e))
#
# Return this linear combination.
#
if (sigma2 >= 0) {
sigma <- sqrt(sigma2)
z <- y.dual %*% rho + sigma*e
} else {
warning("Correlations are impossible.")
z <- rep(0, n)
}
return(z)
}
#
# Set up the problem.
#
d <- 3 # Number of given variables
n <- 50 # Dimension of all vectors
x <- 1:n # Optionally: specify `x` or draw from any distribution
y <- matrix(rnorm(d*n), ncol=d) # Create `d` original variables in any way
rho <- c(0.5, -0.5, 0) # Specify the correlations
#
# Verify the results.
#
z <- complement(y, rho, x)
cbind('Actual correlations' = cor(cbind(z, y))[1,-1],
'Target correlations' = rho)
#
# Display them.
#
colnames(y) <- paste0("y.", 1:d)
colnames(z) <- "z"
pairs(cbind(z, y))
