控制和治疗之间的差异应该显式还是隐式建模？

给出以下实验设置：

从受试者中采集多个样品，并对每个样品进行多种处理（包括对照治疗）。主要有趣的是对照和每种处理之间的差异。

我可以为这个数据想到两个简单的模型。以样本，处理，处理0为对照，令为数据，为样本的基线，为处理的差。第一个模型同时考虑了控制和差异：$i$$j$$Y_{ij}$$\gamma_i$$i$$\delta_j$$j$

$$Y_{ij}=\gamma_i+\delta_j+\epsilon_{ij}$$ $$\delta_0=0$$

虽然第二种模型仅着眼于差异。如果我们预先计算预先 然后 $d_{ij}$

$$d_{ij}=Y_{ij}-Y_{i0}$$ $$d_{ij}=\delta_j+\varepsilon_{ij}$$

我的问题是这两种设置之间的根本区别是什么？尤其是，如果这些级别本身没有意义，而只有差异很重要，那么第一个模型是否做得太多并且动力不足？

的 $\epsilon_{ij}$ 可能在第二个模型中相关，而在第一个模型中不相关。

首先，这些术语表示测量误差和与附加模型的偏差。通过合理的谨慎-例如通过随机化测量顺序-可以在模型准确时使这些误差独立。何处

$$d_{ij} = Y_{ij} - Y_{i0} = \gamma_i + \delta_j + \epsilon_{ij} - (\gamma_i + \delta_0 + \epsilon_{i0}) = \delta_j + (\epsilon_{ij} - \epsilon_{i0}).$$

（请注意，这与问题中的最后一个方程式相矛盾，因为假设是错误的 $\epsilon_{i0}=0$。这样做将迫使我们承认$\gamma_i$是随机变量而不是参数，至少在我们确认控件存在测量误差的可能性之后。这将导致以下相同的结论。）

对于 $j, k \ne 0$， $j \ne k$ 这意味着

$$Cov(d_{ij}, d_{ik}) = Cov(\epsilon_{ij} - \epsilon_{i0}, \epsilon_{ik} - \epsilon_{i0}) = Var(\epsilon_{i0}) \ne 0.$$

相关性可以是实质性的。对于iid错误，类似的计算表明它等于0.5。除非您使用显式且正确地处理此关联的过程，否则请优先使用第一种模型。