这个离散分布有名称吗？

这个离散分布有名称吗？对于 $i \in 1...N$

$f(i) = \frac{1}{N} \sum_{j = i}^N \frac{1}{j}$

我从以下内容中发现了此分布：我有按实用程序功能排列的项目的列表。我想随机选择其中一项，偏向列表的开头。因此，我首先均匀地选择介于1和之间的索引。然后，我在索引1和之间选择一个项目。我相信这个过程会导致上述分布。 $N$ $j$ $N$ $j$

— 汤姆
source

这不是分布：未规范化。

— ub

@whuber起初我是这么认为的（并在意识到自己被误解并删除评论之前发表了评论），但事实证明我误解了定义。除非我有其他误解，否则它是归一化的概率质量函数。

— Glen_b-恢复莫妮卡

已标准化。1/1将恰好出现在总和中一次（将出现在f（1）中）。1/2将恰好出现两次（在f（1）和f（2）中）。因此，所有这些和的总和将为N，归一化常数显示为1 / N。签出。

— rcorty

更重要的是，我不知道这个发行版是什么。我也不知道您描述的过程如何导致此发行版。我曾经想到的是，这听起来像是一个折断过程的离散版本，非常容易上手。

— rcorty

@Glen_b谢谢。我正在手机上阅读此内容，但无法清晰呈现

。

f

$f$

— ub

Answers:

你具有的负log分布，即，它的支持是分布的离散版本和其概率密度函数为。 $[0, 1]$ $f(t) = - \log t$

看到这，我要重新定义随机变量采取设定值，而不是并调用所得分配。那我的主张是 $\{ 0, 1/N, 2/N, \ldots, 1 \}$ $\{0, 1, 2, \ldots, N \}$ $T$

P r (T = \frac{t}{N}) \to - \frac{1}{N} \log (\frac{t}{N})

$Pr\left( T = \frac{t}{N} \right) \rightarrow - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$

为而 $N, t \rightarrow \infty$ 保持（近似）恒定。 $\frac{t}{N}$

首先，通过一个小小的模拟实验来证明这种收敛。这是您的发行版中采样器的一个小实现：

t_sample <- function(N, size) {
  bounds <- sample(1:N, size=size, replace=TRUE)
  samples <- sapply(bounds, function(t) {sample(1:t, size=1)})
  samples / N
}

这是从您的分布中获取的大量样本的直方图：

ss <- t_sample(100, 200000)
hist(ss, freq=FALSE, breaks=50)

在此处输入图片说明

这是对数pdf覆盖：

linsp <- 1:100 / 100
lines(linsp, -log(linsp))

在此处输入图片说明

要了解为什么会发生这种收敛，请从您的表达式开始

P [R （ Ť = \frac{Ť}{ñ} ） = \frac{1个}{ñ} \sum_{Ĵ = Ť}^{ñ} \frac{1个}{Ĵ}

$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{1}{j}$

并乘以 $N$

P [R （ Ť = \frac{Ť}{ñ} ） = \frac{1个}{ñ} \sum_{Ĵ = Ť}^{ñ} \frac{ñ}{Ĵ} \frac{1个}{ñ}

$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{N}{j} \frac{1}{N}$

现在求和是函数的黎曼和 $g(x) = \frac{1}{x}$ $\frac{t}{N}$ $1$ $N$

P [R （ Ť = \frac{Ť}{ñ} ） \approx \frac{1个}{ñ} \int_{\frac{Ť}{ñ}}^{1个} \frac{1个}{X} d X = - \frac{1个}{ñ} 日志 （ \frac{Ť}{ñ} ）

$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{t}{N}}^1 \frac{1}{x} dx = - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$

这是我想表达的意思。

— 马修·德鲁里
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不客气这是一个很好的问题，解决这个问题我感到很开心。

— 马修·德鲁里

这似乎与Whitworth分布有关。（我不相信这是惠特沃思分布，因为如果我没记错的话，那就是一组有序值的分布，但它似乎与之相关，并且依赖于相同的求和方案。）

有关惠特沃思（和大量参考文献）的一些讨论，请参见

Anthony Lawrance和Robert Marks，（2008年）
“资源有限的行业中的公司规模分布”，《
应用经济学》，第1卷。40，第12期，第1595-1607页

（有看起来是一个工作文件的版本在这里）

另见

南希·盖勒（Nancy L Geller），（1979年）
对惠特沃思分布的意义的检验，
美国信息科学学报，第30卷第4期，第229-231页

— Glen_b-恢复莫妮卡
source

为了使这个答案自成一体，您能否提供惠特沃思分布的定义，或者也许提供一些有关您所看到的联系的解释？

— ub

@whuber是的，它应该是目前的评论。我将在其中编辑一些细节，但这将导致更长的时间。

— Glen_b-恢复莫妮卡

只需某种定义就可以了。

— ub

谢谢，这是可以理解的，但是那将是结果。

— Glen_b-恢复莫妮卡