两个iid对数正态随机变量的差

令和为2个iidrv，其中。我想知道的分布。X 2日志（X 1），日志（X 2）〜Ñ （μ ，σ ）X 1 - X $X_1$$X_2$$\log(X_1),\log(X_2) \sim N(\mu,\sigma)$$X_1 - X_2$

我所能做的最好是将二者的泰勒级数取整，得出的差值是两个法线rv和两个卡方rv的差之和，以及其余各项之间的差。是否有更直接的方法来获取2个iid对数正态rv之间的差异的分布？

这是一个难题。我首先考虑过使用（近似）对数正态分布的矩生成函数。正如我将要解释的那样，这是行不通的。但首先要注意的是：

令为标准正态密度，而Φ为相应的累积分布函数。我们将只分析的情况下的对数正态分布升Ñ Ñ （0 ，1 ），它具有密度函数 ˚F （X ）= $\phi$$\Phi$$lnN(0,1)$ 和累积分布函数 F（x）=Φ（lnx） 假设X和Y是具有上述对数正态分布的独立随机变量。我们对D=X-Y的分布感兴趣，它是均值为零的对称分布。让中号（吨）=ÈË吨X是瞬间发生的功能X。它仅针对

$$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac12 (\ln x)^2}$$ $$F(x) =\Phi(\ln x)$$ $X$$Y$$D=X-Y$$M(t) = \DeclareMathOperator{\E}{E} \E e^{tX}$$X$，所以没有在包含零开区间定义的时刻生成函数。 d是中号d（吨）= È È 吨（X - Ý ） = È Ë 吨X ë ë - 吨ÿ = M （t ）M （− t ）。因此，仅在 t = 0时定义 D的力矩生成函数$t\in (-\infty,0]$$D$$M_D(t)=\E e^{t(X-Y)}= \E e^{tX} \E e^{-tY}= M(t)M(-t)$$D$$t=0$，所以不是很有用。

这意味着我们将需要一些更直接的方法来找到分布的近似值。假设吨≥ 0，计算 P （d ≤ 吨$D$$t\ge 0$（与壳体吨<0是由对称解决，我们得到P（d≤吨）=1-P（d≤|吨|））。

$$\begin{align} P(D \le t) &= P(X-Y\le t) \\ &= \int_0^\infty P(X-y\le t | Y=y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty P(X\le t+y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty F(t+y) f(y) \; dy \end{align}$$ $t<0$$P(D\le t)=1-P(D\le |t|)$

该表达式可用于数值积分或作为仿真的基础。首先进行测试：

 integrate(function(y) plnorm(y)*dlnorm(y), lower=0,  upper=+Inf)
  0.5 with absolute error < 2.3e-06

这显然是正确的。让我们将其包装在一个函数中：

pDIFF  <-  function(t) {
    d  <-  t
    for (tt in seq(along=t)) {
        if (t[tt] >= 0.0) d[tt] <- integrate(function(y) plnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                         lower=0.0,  upper=+Inf)$value else
                          d[tt] <- 1-integrate(function(y) plnorm(y+abs(t[tt]))*dlnorm(y),
                                         lower=0.0, upper=+Inf)$value
    }
    return(d)
}

> plot(pDIFF,  from=-5,  to=5)

这使：

然后我们可以通过对整数符号进行微分来求出密度函数，得到

dDIFF  <-  function(t) {
       d  <- t; t<- abs(t)
       for (tt in seq(along=t)) {
           d[tt]  <-  integrate(function(y) dlnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                lower=0.0,  upper=+Inf)$value
       }
       return(d)
}

我们可以测试：

> integrate(dDIFF,  lower=-Inf,  upper=+Inf)
0.9999999 with absolute error < 1.3e-05

绘制密度，我们得到：

plot(dDIFF,  from=-5,  to=5)

我也曾尝试获得一些解析近似值，但是到目前为止没有成功，这不是一个容易的问题。但是，用R编程的上述数值积分在现代硬件上非常快，因此是一个很好的选择，应该更多地使用它。

$X$$Y$

$$\begin{align} \Pr\left(\frac{X}{Y} \leq t\right) &= \Pr\left(\log\left(\frac{X}{Y}\right) \leq \log(t) \right) \\ &= \Pr(\log(X) - \log(Y) \leq \log(t)) \\ &\sim \mathcal{N}(0, 2 \sigma^2) \end{align}$$

根据您的应用程序，这可能满足您的需求。