长期差异是多少？

如何定义时间序列分析领域中的长期差异？

我知道在数据中存在相关结构的情况下会使用它。因此，我们的随机过程不会是 $X_1, X_2 \dots$ iid随机变量的一个家族，而只会是相同分布的？

我可以将标准参考作为该概念及其估计中所涉及的困难的介绍吗？

— 单晶
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相关：stats.stackexchange.com/questions/154070/…–

— 泰勒，泰勒，

当存在序列依赖性时，它是样本均值的标准误差的量度。

$Y_t$ $E(Y_t)=\mu$ $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$

lim_{T \to \infty} {V a r [\sqrt{T} ({\bar{Y}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$

第三个是平稳性的结果，这意味着。

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$

因此，问题确实是缺乏独立性。为了更清楚地看到这一点，将样本均值的方差写为

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

估计长期方差的一个问题是，我们当然不会观察到具有有限数据的所有自协方差。为此，使用了内核（在计量经济学中为“ Newey-West”或HAC估算器），

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$ 是内核或加权函数，是样本自协方差。尤其必须是对称的并且具有。是带宽参数。

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

流行的内核是Bartlett内核好的教科书参考是Hamilton，时间序列分析或Fuller。一篇开创性（但技术性）的期刊文章是Newey and West，Econometrica 1987。

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

— 克里斯多夫·汉克
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谢谢！我检查了汉密尔顿的时间序列分析。实际上，它确实说过，估计频谱的非参数方法是对样本协方差进行加权平均，但它并未深入探讨确定该陈述背后的数学原理。您能否建议一本参考书或论文来说明当样本量增加时为什么这是一个很好的估算器？

— Monolite

好点子。进行了一些编辑

— Christoph Hanck

也许值得一提的是，第二步（“棘手的”）需要主导性的收敛（请参阅stats.stackexchange.com/questions/154070/…）。

— 塔玛斯·费伦奇

@TamasFerenci，感谢您的指导，我提供了链接。

— Christoph Hanck '18

@克里斯托弗·汉克，不客气，谢谢您的更新！

— 塔马斯·费伦奇