如何计算非线性回归的预测范围？

Prism 的帮助页面对如何计算非线性回归的预测范围进行了以下说明。请原谅长引号，但我没有遵循第二段（它解释了的定义方式以及d Y / d P的计算方式）。任何帮助将不胜感激。$G|x$$dY/dP$

置信度和预测范围的计算是相当标准的。继续阅读有关Prism如何计算非线性回归的预测带和置信带的详细信息。

首先，让我们定义G | x，它是在特定X值下并使用所有参数的最佳拟合值的参数梯度。结果是一个向量，每个参数一个元素。对于每个参数，它定义为dY / dP，其中Y是给定特定X值和所有最佳拟合参数值的曲线的Y值，P是其中一个参数。）

G'| x是转置的梯度矢量，因此它是一列而不是一行值。

Cov是协方差矩阵（上次迭代的逆Hessian）。它是一个正方形矩阵，行和列的数量等于参数的数量。矩阵中的每一项都是两个参数之间的协方差。

现在计算c = G'| x * Cov * G | x。结果是任何X值的单个数字。

置信带和预测带以最佳拟合曲线为中心，并在曲线的上方和下方延伸相等的量。

置信带在曲线的上方和下方延伸：= sqrt（c）* sqrt（SS / DF）* CriticalT（Confidence％，DF）

预测带在曲线的上方和下方进一步延伸，等于：= sqrt（c + 1）* sqrt（SS / DF）* CriticalT（Confidence％，DF）

这称为增量法。

假设您有一些函数 ; 请注意，G （⋅ ）是您估计的参数β和预测变量x的函数。首先，针对您的参数向量β：G ′（β ，x ）找到该函数的导数$y = G(\beta,x) + \epsilon$$G(\cdot)$$\beta$$x$$\beta$$G^\prime(\beta, x)$。这就是说，如果您稍微改变一个参数，您的功能会发生多少变化？请注意，此导数可能是参数本身以及预测变量的函数。例如，如果，你的程序给出，β，和预测值X，则该衍生物是 X EXP （β X ），这取决于的值 β和的值 X。要对此进行评估，请插入 β的估计值$G(\beta,x) = \exp (\beta x)$$x \exp (\beta x)$$\beta$$x$$\beta$$\hat{\beta}$$x$ 您想要预测的地方。

增量的方法，从最大似然程序导出，指出的方差将是 ģ ' （β，X ） Ť瓦尔（β） ģ ' （β，X ）， 其中VAR （β$G\left(\hat{\beta}, x\right)$

这给出了每个点上函数值的方差，并与计算置信区间中的任何其他方差一样使用：取该值的平方根，乘以法线或适用值的临界值 $G(\cdot)$

$x$$\text{Var}(y \mid x) \equiv \sigma^2$$\epsilon$$\hat{\sigma}^2$$y$$y$$\hat{\sigma}^2$SSDF

c$\sigma^2$$\sigma^{-2}$$\sigma$c*SS/DF

c$\left(x^\prime x\right)^{-1}$$\text{Var}\left(\hat{\beta}\right) = \sigma^2 \left(x^\prime x\right)^{-1}$