两计数之差的意义

有没有一种方法可以确定时间1处的道路交通事故计数与时间2处的交通事故计数之间的差异是否显着不同？

我发现了不同的方法来确定不同时间的观察组之间的差异（例如比较泊松均值），而不是仅比较两个计数。还是尝试无效？任何建议或指示，将不胜感激。我很高兴跟进自己。

如果您乐于假设每个计数都遵循泊松分布（在替代假设下具有自己的均值；在零假设下具有共同的均值），那么就没有问题了–只是如果没有重复就无法检查该假设。过度分散在计数数据中很常见。

给定计数和x 2的精确测试很简单，因为计数的总和n = x 1 + x $x_1$$x_2$$n=x_1+x_2$是辅助的；它调节给出为null下您的测试统计量的分布。^†这是一个直观的结果：总计数可能反映了您可能会花多少时间观察这两个Poisson过程，因此不提供有关其相对比率的信息，但会影响测试的功效；因此，您可能获得的其他总体计数无关紧要。$X_1 \sim \mathrm{Bin}\left(\frac{1}{2},n\right)$

有关Wald检验，请参见基于似然性的假设检验（近似值）。

†每个计数是均值的泊松分布λ 我 ˚F X（X 我）= λ X 我我 ë - λ $x_i$$\lambda_i$ Reparametrize作为

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} f{_X}(x_i)=\frac{\lambda_i^{x_i}\e^{-\lambda_i}}{x_i!}\qquad i=1,2$$ ，其中θ是你感兴趣的东西，和φ是多余参数。然后可以重写关节质量函数： f X 1，X $$\begin{align} \theta&=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\\ \phi&=\lambda_1+\lambda_2 \end{align}$$ $\theta$$\phi$ 总数n对θ是辅助的，具有泊松分布，均值 $$\begin{align} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)&=\frac{\lambda_1^{x_1}\lambda_2^{x_2}\e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{x_1!x_2!}\\ f_{X_1,N}(x_1,n)&=\frac{\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\cdot\phi^n\e^{-\phi}}{x_1!(n-x_1)!} \end{align}$$ $n$$\theta$$\phi$ 而给定n的X1的条件分布是二项式，伯努利概率为θ＆no。试验nfX1| n（x1;n $$\begin{align} f_N(n)&= \sum_{x_1=0}^{\infty}f_{X_1,N}(x_1,n)\\ &=\frac{\phi^n\e^{-\phi}}{n!}\sum_{x_1=0}^{\infty}\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\\ &=\frac{\phi^n\e^{-\phi}}{n!} \end{align}$$ $X_1$$n$$\theta$$n$ $$\begin{align} f_{X_1|n}(x_1;n)&=\frac{f_{X_1,N}(x_1,n)}{f_N(n)}\\ &=\frac{\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\cdot\phi^n\e^{-\phi}}{x_1!(n-x_1)!}\cdot\frac{n!}{\phi^n\e^{-\phi}}\\ &=\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1} \end{align}\\$$