凸序是否暗示着右尾优势？

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给定两个连续分布 $\mathcal{F}_X$ 和 $\mathcal{F}_Y$ ，我不清楚它们之间的凸优势地位之间的关系：

(0) F_{X} <_{c} F_{Y}

$(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

暗示

(1) F_{Y}^{- 1} (q) \leq F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1]

$(1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1]$

是否成立，或者如果需要进一步假设 $(1)$ ？

凸优势的定义。

如果两个连续分布 $\mathcal{F}_X$ 和 $\mathcal{F}_Y$ 满足：

(2) F_{Y}^{- 1} F_{X} (x) is convex in x

$(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x$

[0]然后我们写：

F_{X} <_{c} F_{Y}

$F_X <_c F_Y$

并说比更右偏。因为和是概率分布，所以还暗示的导数是单调非递减且非负的[1]，即是凸的[2]，即和 $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $F_X$ $F_Y$ $(2)$ $F_Y^{-1}F_X(x)$ $F_Y^{-1}F_X(x)-x$ $F_X$ $F_{aY+b}$ 彼此交叉至多两次 [2]和[2]，为： $\forall a>0,b\in\mathbb{R}$ $\forall p\in[0,0.5]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} \geq \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)} .

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}\geq\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}.$

[0] Zwet，WR van（1964）。随机变量的凸变换。（1964）。Amterdam：数学中心。
[1] Oja，H.（1981）。关于单变量分布的位置，规模，偏度和峰度。斯堪的纳维亚统计杂志。卷 8，第154--168页
[2] RA Groeneveld和G. Meeden。（1984）。测量偏度和峰度。统计学家。33：391-399。

probability probability-inequalities distributions

— 用户603
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1

我假设有在最后不等式一些错误-如果它保持

，对称性意味着平等

\forall p \in [0, 1]

$\forall p \in [0,1]$

，这将相对于

与

对称。

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} = \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)}

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}=\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}$

X

$X$

Y

$Y$

— Juho Kokkala 2015年

1

请注意，有

在[2]的等式（6

之后。

α \in (0, \frac{1}{2})

$\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

— Juho Kokkala 2015年

你是对的。我的错。我现在解决这个问题。

— user603 2015年

2

一般来说，这是不正确的。考虑例如 $\mu=\frac{3}{8} \delta_{-1}(x)+\frac{1}{4}\delta_0(x)+\frac38 \delta_1(x)$ $\nu=\frac12\delta_{-\frac12}(x)+\frac12\delta_{\frac12}(x)$

$\nu\leq_{cx}\mu$ $F_\mu^{-1}(0.6)=0<\frac12 =F_\nu^{-1}(0.6)$ $\bar{q}$ $F_\mu^{-1}(q)<F_\nu^{-1}(q)$ $q>\bar q$

— 用户123456
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您能否在此答案中添加一些说明？这对于我们的标准来说有点短！

— kjetil b halvorsen

4

好的，我认为可以这样解决（欢迎评论）：

$\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $X$ $Y$

F_{X} <_{c} F_{Y}

$\mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

$\exists z^*\in\mathbb{R}$

F_{Y} (z) < F_{X} (z), \forall z > z^{*} .

$F_Y(z)<F_X(z),\forall z>z^*.$

$X$

z^{*} ⩽ min (F_{X}^{- 1} (0.5), F_{Y}^{- 1} (0.5))

$z^*\leqslant\min(F^{-1}_X(0.5),F^{-1}_Y(0.5))$

以便

F_{Y}^{- 1} (q) ⩽ F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1] .

$F_Y^{-1}(q) \leqslant F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1].$

所以，似乎是，凸排序意味着右尾部显性超过（或更确切地说一些版本 of） $\mathcal{F}_X<_c \mathcal{F}_Y$ $F_Y(y)$ $F_X(x)$ $F_{X+b}(x),\;b\in\mathbb{R}$ $F_X(x)$

— 用户603
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