样本最大值的方差是多少？

我正在寻找一组随机变量的最大值的方差的界限。换句话说，我想找的闭合形式的公式 $B$ ，使得其中是一组固定的与有限装置的随机变量和方差。

Var (max_{i} X_{i}) \leq B,

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq B \enspace,$

X = {X_{1}, \dots, X_{M}}

$X = \{ X_1, \ldots, X_M \}$

M

$M$

μ_{1}, \dots, μ_{M}

$\mu_1, \ldots, \mu_M$

σ_{1}^{2}, \dots, σ_{M}^{2}

$\sigma_1^2, \ldots, \sigma_M^2$

我可以推断出但是这个界限似乎很松散。数值试验似乎表明，可能是一种可能性，但我一直没能证明这一点。任何帮助表示赞赏。

Var (max_{i} X_{i}) \leq \sum_{i} σ_{i}^{2},

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq \sum_i \sigma_i^2 \enspace,$

B = max_{i} σ_{i}^{2}

$B = \max_i \sigma_i^2$

variance bounds maximum

— 彼得
source

（您想假设

是独立的吗？）推测是合理的，但似乎是错误的。例如，做一些试验，其中

正在与IID CDF

，

。相对于它们的共同方差，它们的最大方差随

增长而无限制地增加。

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

1 - x^{1 - s}

$1-x^{1-s}$

1 \leq x \leq \infty

$1\le x\le \infty$

s > 3

$s\gt 3$

M

$M$

— ub

@whuber谢谢，这解释了为什么我无法证明这个猜想:)我确实对

独立的情况感兴趣。需要澄清的是，我对仅使用前两个时刻的一般界限感兴趣。我不确定是否存在比公共方差更尖锐的一般界限。

X_{i}

$X_i$

— 彼得

我应该指出，您的总和（假设是正确的-很高兴看到证明的草图）很紧。例如，让

是对间隔支撑

与方差不超过

并让

被支撑在

。然后

为，具有方差

X_{2}, \dots, X_{M}

$X_2,\ldots,X_M$

[- \infty, a]

$[-\infty, a]$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

X_{1}

$X_1$

[a, \infty]

$[a,\infty]$

max_{i} X_{i} = X_{1}

$\max_i{X_i}=X_1$

，但可以不等式通过收缩被拉紧多达你喜欢

。

σ_{1}^{2} \leq σ_{1}^{2} + (M - 1) ε^{2}

$\sigma_1^2\le\sigma_1^2+(M-1)\varepsilon^2$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

— ub

对于iid数据，极值理论提供了样本最大值收敛到的分布类别，在原始分布的尾部具有一定条件的情况下，给出了不同类别的渐近分布。因此，我怀疑您将仅能基于这两个时刻得出一个良好的界限，尽管我对该理论仅是切切的熟悉。

— StasK 2011年

Answers:

对于任何随机变量，最好的结合一般是如在原来的问题说明。这是一个证明草图：如果X，Y是IID，则。给定一个可能因变量 $n$ $X_i$ $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$ $E[(X-Y)^2] =2\Var(X)$ ，令为具有相同关节分布的独立向量。对于任何，我们由并集约束 $(X_1,\ldots ,X_n)$ $(Y_1,\ldots ,Y_n)$ $r>0$ $P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$ ，并将此从积分到产生所要求的不等式。 $dr$ $0$ $\infty$

如果是概率的事件的IID指标，那么是概率的事件的指示符。固定并使趋于零，我们得到和 $X_i$ $\epsilon$ $\max X_i$ $n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$ $n$ $\epsilon$ $\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$ 。 $\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2\epsilon^2)$

— 尤瓦尔·佩雷斯（Yuval Peres）
source

有关MathOverflow 的问题与此问题相关。

对于IID随机变量，第个最高的称为顺序统计量。 $k$

$X_i$ $1$ $1/10$ $0$ $9/10$ $M=10$ $1$ $\approx 1- 1/e$ $0.09$ $0.23$

以下是有关订单统计差异的两篇论文：

Yang，H.（1982）“关于中位数和其他阶数统计量的方差”。公牛。研究所数学。学院物理学报，10（2）：197-204

Papadatos，N.（1995）“订单统计的最大方差”。安研究所统计员。Math。，47（1）第185-193页

$M\sigma^2$

— 道格拉斯·扎尔
source