我正在寻找一组随机变量的最大值的方差的界限。换句话说,我想找的闭合形式的公式,使得 其中 X = { X 1,... ,X 中号 }是一组固定的中号与有限装置的随机变量 μ 1,... ,μ 中号和方差 σ 2 1,... ,σ 2 中号。
我可以推断出 但是这个界限似乎很松散。数值试验似乎表明,乙= 最大值我σ 2 我可能是一种可能性,但我一直没能证明这一点。任何帮助表示赞赏。
我正在寻找一组随机变量的最大值的方差的界限。换句话说,我想找的闭合形式的公式,使得 其中 X = { X 1,... ,X 中号 }是一组固定的中号与有限装置的随机变量 μ 1,... ,μ 中号和方差 σ 2 1,... ,σ 2 中号。
我可以推断出 但是这个界限似乎很松散。数值试验似乎表明,乙= 最大值我σ 2 我可能是一种可能性,但我一直没能证明这一点。任何帮助表示赞赏。
Answers:
对于任何随机变量X 我,最好的结合一般是 V 一- [R (最大X 我)≤ Σ 我V 一- [R (X 我)如在原来的问题说明。这是一个证明草图:如果X,Y是IID,则E [ (X - Y )2 ] = 2 V a r(X )。给定一个可能因变量(X 1,...,令(Y 1,… ,Y n)为具有相同关节分布的独立向量。对于任何 r > 0,我们由并集约束 P [ | 最多我X 我 - 最多我ÿ 我| 2 > [R ] ≤ Σ 我 P [ | X i − Y i | 2 > [R ],并将此从0积分到∞产生所要求的不等式。
如果是概率的事件的IID指标ε,那么最大X 我是概率的事件的指示符Ñ ε + Ö (Ñ 2 ε 2)。固定n并使ϵ趋于零,我们得到V a r(X i)= ϵ − ϵ 2和V a r(max i X i)= n ϵ +。
有关MathOverflow 的问题与此问题相关。
对于IID随机变量,第个最高的称为顺序统计量。
以下是有关订单统计差异的两篇论文:
Yang,H.(1982)“关于中位数和其他阶数统计量的方差”。公牛。研究所 数学。学院 物理学报,10(2):197-204
Papadatos,N.(1995)“订单统计的最大方差”。安 研究所 统计员。Math。,47(1)第185-193页