样本最大值的方差是多少?


13

我正在寻找一组随机变量的最大值的方差的界限。换句话说,我想找的闭合形式的公式B,使得 其中 X = { X 1... X 中号 }是一组固定的中号与有限装置的随机变量 μ 1... μ 中号和方差 σ 2 1... σ 2 中号

Var(maxiXi)B,
X={X1,,XM}Mμ1,,μMσ12,,σM2

我可以推断出 但是这个界限似乎很松散。数值试验似乎表明,= 最大值σ 2 可能是一种可能性,但我一直没能证明这一点。任何帮助表示赞赏。

Var(maxiXi)iσi2,
B=maxiσi2

3
(您想假设是独立的吗?)推测是合理的,但似乎是错误的。例如,做一些试验,其中X 正在与IID CDF 1 - X 1 - 小号1 X š > 3。相对于它们的共同方差,它们的最大方差随M的增长而无限制地增加。XiXi1x1s1xs>3M
ub

@whuber谢谢,这解释了为什么我无法证明这个猜想:)我确实对独立的情况感兴趣。需要澄清的是,我对仅使用前两个时刻的一般界限感兴趣。我不确定是否存在比公共方差更尖锐的一般界限。Xi
彼得

1
我应该指出,您的总和(假设是正确的-很高兴看到证明的草图)很紧。例如,让是对间隔支撑[ - 一个]与方差不超过ε 2并让X 1被支撑在[ ]。然后最大X = X 1为,具有方差σ 2 1σ 2 1X2,,XM[,a]ε2X1[a,]maxiXi=X1,但可以不等式通过收缩被拉紧多达你喜欢 ε 2σ12σ12+(M1)ε2ε2
ub

1
对于iid数据,极值理论提供了样本最大值收敛到的分布类别,在原始分布的尾部具有一定条件的情况下,给出了不同类别的渐近分布。因此,我怀疑您将仅能基于这两个时刻得出一个良好的界限,尽管我对该理论仅是切切的熟悉。
StasK 2011年

Answers:


9

对于任何随机变量X ,最好的结合一般是 V - [R 最大X Σ V - [R X 如在原来的问题说明。这是一个证明草图:如果X,Y是IID,则E [ X - Y 2 ] = 2 V a rX 。给定一个可能因变量X 1...nXiVar(maxXi)iVar(Xi)E[(XY)2]=2Var(X),令Y 1Y n为具有相同关节分布的独立向量。对于任何 r > 0,我们由并集约束 P [ | 最多X - 最多ÿ | 2 > [R ] Σ P [ | X iY i | 2 > [R ](X1,,Xn)(Y1,,Yn)r>0P[|maxiXimaxiYi|2>r]iP[|XiYi|2>r],并将此0积分到产生所要求的不等式。dr0

如果是概率的事件的IID指标ε,那么最大X 是概率的事件的指示符Ñ ε + Ö Ñ 2 ε 2。固定n并使ϵ趋于零,我们得到V a rX i= ϵ ϵ 2V a rmax i X i= n ϵ +XiϵmaxXinϵ+O(n2ϵ2)nϵVar(Xi)=ϵϵ2Var(maxiXi)=nϵ+O(n2ϵ2)


3

有关MathOverflow 的问题与此问题相关。

对于IID随机变量,第个最高的称为顺序统计量k

Xi11/1009/10M=10111/e0.090.23

以下是有关订单统计差异的两篇论文:

Yang,H.(1982)“关于中位数和其他阶数统计量的方差”。公牛。研究所 数学。学院 物理学报,10(2):197-204

Papadatos,N.(1995)“订单统计的最大方差”。安 研究所 统计员。Math。,47(1)第185-193页

Mσ2

By using our site, you acknowledge that you have read and understand our Cookie Policy and Privacy Policy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.