如何使用Cholesky分解或其他方法进行关联数据模拟

给定相关矩阵，我使用Cholesky分解来模拟相关的随机变量。问题是，结果永远不会像给出的那样重现相关结构。这是Python中的一个小例子来说明这种情况。

import numpy as np    

n_obs = 10000
means = [1, 2, 3]
sds = [1, 2, 3] # standard deviations 

# generating random independent variables 
observations = np.vstack([np.random.normal(loc=mean, scale=sd, size=n_obs)
                   for mean, sd in zip(means, sds)])  # observations, a row per variable

cor_matrix = np.array([[1.0, 0.6, 0.9],
                       [0.6, 1.0, 0.5],
                       [0.9, 0.5, 1.0]])

L = np.linalg.cholesky(cor_matrix)

print(np.corrcoef(L.dot(observations))) 

打印：

[[ 1.          0.34450587  0.57515737]
 [ 0.34450587  1.          0.1488504 ]
 [ 0.57515737  0.1488504   1.        ]]

如您所见，事后估计的相关矩阵与前一个大大不同。我的代码中是否有错误，或者是否有使用Cholesky分解的替代方法？

编辑

不好意思，请原谅。我认为代码和/或Cholesky分解的应用方式没有错误，因为对我以前研究过的材料有些误解。实际上，我确信该方法本身并不意味着精确，并且在情况使我提出此问题之前，我一直认为还可以。谢谢您指出我的误解。我已经编辑了标题，以更好地反映@Silverfish提出的实际情况。

此处描述了基于Cholesky分解的方法，该方法在此处描述， 并且在Mark L. Stone的答案中几乎与该答案同时发布。

尽管如此，有时我还是根据多元正态分布生成 ：$N(\vec\mu, \Sigma)$

其中是最终绘制，是来自单变量标准正态分布的绘制，是包含目标矩阵的归一化特征向量的矩阵，是包含以相同顺序排列的特征值的对角矩阵作为列中的特征向量。$Y$$X$$\Phi$$\Sigma$$\Lambda$$\Sigma$$\Phi$

中的示例R（很抱歉，我没有使用与问题中使用的软件相同的软件）：

n <- 10000
corM <- rbind(c(1.0, 0.6, 0.9), c(0.6, 1.0, 0.5), c(0.9, 0.5, 1.0))
set.seed(123)
SigmaEV <- eigen(corM)
eps <- rnorm(n * ncol(SigmaEV$vectors))
Meps <- matrix(eps, ncol = n, byrow = TRUE)    
Meps <- SigmaEV$vectors %*% diag(sqrt(SigmaEV$values)) %*% Meps
Meps <- t(Meps)
# target correlation matrix
corM
#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]  1.0  0.6  0.9
# [2,]  0.6  1.0  0.5
# [3,]  0.9  0.5  1.0
# correlation matrix for simulated data
cor(Meps)
#           [,1]      [,2]      [,3]
# [1,] 1.0000000 0.6002078 0.8994329
# [2,] 0.6002078 1.0000000 0.5006346
# [3,] 0.8994329 0.5006346 1.0000000

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如果您用单词和代数而不是代码（或至少使用伪代码编写）来解释所做的工作，人们可能会更快地发现您的错误。

您似乎正在执行以下操作（尽管可能会换位）：

1. 生成标准法线的矩阵$n\times k$$Z$

2. 将列乘以并添加以获取非标准法线μ $\sigma_i$$\mu_i$

3. 计算以获得相关法线。$Y=LX$

其中是您的相关矩阵的左Cholesky因子。$L$

您应该做的是：

1. 生成标准法线的矩阵$n\times k$$Z$

2. 计算以获得相关法线。$X=LZ$

3. 将列乘以并添加以获取非标准法线μ $\sigma_i$$\mu_i$

现场对此算法有很多解释。例如

如何生成相关的随机数（给定的均值，方差和相关度）？

我可以使用Cholesky方法生成具有给定均值的相关随机变量吗？

本节将直接根据所需协方差矩阵进行讨论，并给出一种用于获取所需样本协方差的算法：

使用给定的样本协方差矩阵生成数据

Cholesky因式分解没有任何问题。您的代码中有错误。请参阅下面的编辑。

这是MATLAB代码和结果，首先是n_obs = 10000，然后n_obs = 1e8。为简单起见，由于它不会影响结果，因此我不会理会均值，即将它们设为零。注意，MATLAB的chol产生矩阵M的上三角Cholesky因子R，使得R'* R =M。numpy.linalg.cholesky产生下三角Cholesky因子，因此需要对我的代码进行调整；但我相信您的代码在这方面是可以的。

   >> correlation_matrix = [1.0, 0.6, 0.9; 0.6, 1.0, 0.5;0.9, 0.5, 1.0];
   >> SD = diag([1 2 3]);
   >> covariance_matrix = SD*correlation_matrix*SD
   covariance_matrix =
      1.000000000000000   1.200000000000000   2.700000000000000
      1.200000000000000   4.000000000000000   3.000000000000000
      2.700000000000000   3.000000000000000   9.000000000000000
   >> n_obs = 10000;
   >> Random_sample = randn(n_obs,3)*chol(covariance_matrix);
   >> disp(corr(Random_sample))
      1.000000000000000   0.599105015695768   0.898395949647890
      0.599105015695768   1.000000000000000   0.495147514173305
      0.898395949647890   0.495147514173305   1.000000000000000
   >> n_obs = 1e8;
   >> Random_sample = randn(n_obs,3)*chol(covariance_matrix);
   >> disp(corr(Random_sample))
      1.000000000000000   0.600101477583914   0.899986072541418
      0.600101477583914   1.000000000000000   0.500112824962378
      0.899986072541418   0.500112824962378   1.000000000000000

编辑：我发现了你的错误。您错误地应用了标准偏差。这与您所做的等效，这是错误的。

   >> n_obs = 10000;
   >> Random_sample = randn(n_obs,3)*SD*chol(correlation_matrix);
   >> disp(corr(Random_sample))
      1.000000000000000   0.336292731308138   0.562331469857830
      0.336292731308138   1.000000000000000   0.131270077244625
      0.562331469857830   0.131270077244625   1.000000000000000
   >> n_obs=1e8;
   >> Random_sample = randn(n_obs,3)*SD*chol(correlation_matrix);
   >> disp(corr(Random_sample))
      1.000000000000000   0.351254525742470   0.568291702131030
      0.351254525742470   1.000000000000000   0.140443281045496
      0.568291702131030   0.140443281045496   1.000000000000000

CV与代码无关，但我对看到所有好的答案（特别是@Mark L. Stone贡献）后的外观很感兴趣。该问题的实际答案在其职位上提供（如有疑问，请记入其职位）。我将在此处移动此附加信息，以方便将来检索此帖子。在Mark回答之后，无需淡化任何其他出色的答案，这可以通过更正OP中的帖子来解决问题。

资源

在PYTHON：

import numpy as np

no_obs = 1000             # Number of observations per column
means = [1, 2, 3]         # Mean values of each column
no_cols = 3               # Number of columns

sds = [1, 2, 3]           # SD of each column
sd = np.diag(sds)         # SD in a diagonal matrix for later operations

observations = np.random.normal(0, 1, (no_cols, no_obs)) # Rd draws N(0,1) in [3 x 1,000]

cor_matrix = np.array([[1.0, 0.6, 0.9],
                       [0.6, 1.0, 0.5],
                       [0.9, 0.5, 1.0]])          # The correlation matrix [3 x 3]

cov_matrix = np.dot(sd, np.dot(cor_matrix, sd))   # The covariance matrix

Chol = np.linalg.cholesky(cov_matrix)             # Cholesky decomposition

array([[ 1.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 1.2       ,  1.6       ,  0.        ],
       [ 2.7       , -0.15      ,  1.29903811]])

sam_eq_mean = Chol .dot(observations)             # Generating random MVN (0, cov_matrix)

s = sam_eq_mean.transpose() + means               # Adding the means column wise
samples = s.transpose()                           # Transposing back

print(np.corrcoef(samples))                       # Checking correlation consistency.

[[ 1.          0.59167434  0.90182308]
 [ 0.59167434  1.          0.49279316]
 [ 0.90182308  0.49279316  1.        ]]

IN [R]：

no_obs = 1000             # Number of observations per column
means = 1:3               # Mean values of each column
no_cols = 3               # Number of columns

sds = 1:3                 # SD of each column
sd = diag(sds)         # SD in a diagonal matrix for later operations

observations = matrix(rnorm(no_cols * no_obs), nrow = no_cols) # Rd draws N(0,1)

cor_matrix = matrix(c(1.0, 0.6, 0.9,
                      0.6, 1.0, 0.5,
                      0.9, 0.5, 1.0), byrow = T, nrow = 3)     # cor matrix [3 x 3]

cov_matrix = sd %*% cor_matrix %*% sd                          # The covariance matrix

Chol = chol(cov_matrix)                                        # Cholesky decomposition

     [,1] [,2]      [,3]
[1,]    1  1.2  2.700000
[2,]    0  1.6 -0.150000
[3,]    0  0.0  1.299038

sam_eq_mean = t(observations) %*% Chol          # Generating random MVN (0, cov_matrix)

samples = t(sam_eq_mean) + means

cor(t(samples))

          [,1]      [,2]      [,3]
[1,] 1.0000000 0.6071067 0.8857339
[2,] 0.6071067 1.0000000 0.4655579
[3,] 0.8857339 0.4655579 1.0000000

colMeans(t(samples))
[1] 1.035056 2.099352 3.065797
apply(t(samples), 2, sd)
[1] 0.9543873 1.9788250 2.8903964

正如其他人已经表明的那样：cholesky有效。这是一段很短且非常接近伪代码的代码：MatMate中的一个代码段：

Co = {{1.0, 0.6, 0.9},  _
      {0.6, 1.0, 0.5},  _
      {0.9, 0.5, 1.0}}           // make correlation matrix


chol = cholesky(co)              // do cholesky-decomposition           
data = chol * unkorrzl(randomn(3,100,0,1))  
                                 // dot-multiply cholesky with random-
                                 // vectors with mean=0, sdev=1  
                                 //(refined by a "decorrelation" 
                                 //to remove spurious/random correlations)   


chk = data *' /100               // check the correlation of the data
list chk

1.0000  0.6000  0.9000
0.6000  1.0000  0.5000
0.9000  0.5000  1.0000