“无偏见”是什么意思？

• 说“方差是有偏差的估计量”是什么意思。
• 通过一个简单的公式将有偏估计转换为无偏估计是什么意思。这种转换究竟能做什么？
• 另外，此转换的实际用途是什么？使用某些统计信息时，您会转换这些分数吗？

您可以在这里找到所有内容。但是，这是一个简短的答案。

令和为均值和方差；您希望基于大小为的样本估算。σ 2 σ 2$\mu$$\sigma^2$$\sigma^2$$n$

现在，假设您使用以下估算器：

$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_{i} - \bar{X})^2$，

其中是的估计量。$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$\mu$

看到并不是很困难（请参阅脚注）。$E[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$

由于，所以估计器被认为是有偏差的。小号$E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$

但是，请注意。因此是的无偏估计量。〜小号 2=$E[\frac{n}{n-1} S^2] = \sigma^2$σ$\tilde{S}^2 = \frac{n}{n-1} S^2$$\sigma^2$

脚注

首先编写，然后展开乘积...$(X_i - \bar{X})^2 = ((X_i - \mu) + (\mu - \bar{X}))^2$

编辑以考虑您的评论

的期望值不会产生（因此是有偏差的），但事实证明您可以将转换为这样期望值确实会得到。σ 2 小号2 小号2 〜š 2 σ $S^2$$\sigma^2$$S^2$$S^2$$\tilde{S}^2$$\sigma^2$

实际上，人们通常更喜欢使用而不是。但是，如果足够大，这不是大问题，因为。小号2Ñ$\tilde{S}^2$$S^2$$n$$\frac{n}{n-1} \approx 1$

备注请注意，无偏是估计量的属性，而不是您所写的期望。

此响应阐明了ocram的答案。对于关键原因（以及常见的误解）是小号2用途估计ˉ X本身是从数据中估计。$E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$$\bar{X}$

如果您通过派生的工作，你会看到，这个估计的方差正是给出了额外- σ $E[(\bar{X}-\mu)^2]$项$-\frac{\sigma^2}{n}$

@Ocram给的解释很棒。为了解释他的话：如果我们仅通过除以n来计算（这很直观），我们对s 2的估计将被低估。为了补偿，我们除以n − 1。$s^2$$n$$s^2$$n-1$

这是一个练习：用2个结果组成一个离散概率，例如和P （6 ）= .75。求出该分布的μ和σ。当n = 3时，计算样本均值的μ和σ。计算大小为n = 3的所有可能样本。对这些样本计算s 2，并应用适当的频率。 $P(2) = .25$$P(6) = .75$$\mu$$\sigma$$\mu$$\sigma$$n = 3$$n =3$$s^2$

有时，您会弄脏您的手。

通常，在分母中使用“ n”给出的值要小于我们要估计的总体方差。如果采集少量样本，尤其会发生这种情况。用统计学的话来说，样本方差提供了总体方差的“有偏”估计，需要使其“无偏”。

该视频将充分回答您问题的每个部分。

https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE