除了平方根，对数等普通转换外，还常用哪些其他归一化转换？

在测试成绩的分析中（例如在教育或心理学中），常用的分析技术通常会假设数据是正态分布的。但是，有时分数往往会与正常水平大相径庭。

我熟悉一些基本的规范化转换，例如：平方根，对数，用于减少正偏斜的倒数转换，用于减少负偏斜的上述反射形式，平方函数的平方。我听说过反正弦变换和幂变换，尽管我并不真正了解它们。

因此，我对分析师通常使用的其他转换感到好奇吗？

该箱考克斯转型包括很多你所引用的那些的。有关更多详细信息，请参见此答案：

• 如何转换包含零的非负数据？

更新：这些幻灯片很好地概述了Box-Cox转换。

在第一步应该是问为什么你的变量为非正态分布。这可能是有启发性的。根据我的经验得出的常见发现：

• 能力测试（例如，考试，智力测验，入学测验）在存在天花板效应时趋向于负偏斜，而在存在地板效应时趋向于正偏斜。两项发现均表明，对于样品而言，测试的难度级别并未优化，因为太容易或太难以至于无法最佳地区分能力。这也意味着感兴趣的潜在变量仍可以正态分布，但是测试的结构正在引起被测变量的偏斜。
• 能力测试通常在低分者方面有离群值。简而言之，有许多方法可以使测试表现不佳。尤其是在某些情况下，这种情况有时在考试中可见一斑，在少数学生中，由于缺乏才智和缺乏努力而导致考试分数很低。这意味着感兴趣的潜在变量可能有一些异常值。
• 关于自我报告测验（例如性格，态度测验等），当样本本来就很高时（例如，由于大多数人感到满意而使生活满意度的分布出现负偏斜），或者当该量表出现时，往往会发生偏差。已针对与测试所用样品不同的样品进行了优化（例如，对非临床样品进行了抑郁症的临床测量）。

第一步可能建议对测试进行设计修改。如果您提前意识到这些问题，那么即使您认为它们有问题，您甚至可以设计测试来避免它们。

在第二个步骤是决定做什么的，你有非正常的数据的情况。注意转换只是一种可能的策略。我要重申先前关于非正常性的答案的一般建议：

• 许多假设残差正态性的过程对于轻微违反残差正态性是稳健的
• 自举通常是一个好策略
• 转型是另一个好的策略。请注意，根据我的经验，通常在能力和自我报告心理测验中通常会出现的轻度偏斜，通常可以使用对数，平方或逆变换（或反向等效）很容易地转换为近似正态分布。

John Tukey在他有关EDA的书中系统地讨论了转换。除了Box-Cox系列（仿射缩放的幂变换）之外，他还定义了比例（基本上是x /（1-x）的幂）和“起始”计数（对计数数据加上正偏移）的“折叠”变换族。在进行转换之前）。折叠变换实质上是对数的泛化，对于测试分数特别有用。

完全不同的是，强生（Johnson＆Kotz）在其有关分布的书中提供了许多转换，这些转换旨在将检验统计量转换为近似正态（或转换为其他一些目标分布），例如卡方的立方根转换。当您预计数据将遵循某些特定的分布时，本材料是进行有用转换的重要思想来源。

一个简单的选择是使用分数总和而不是分数本身。分布的总和趋于正态。例如，在教育中，您可以在一系列测试中添加学生的分数。

当然，另一种选择是使用不被假定为正态性的技术，这些技术被低估且未充分使用。

对于偏斜和重尾数据，我使用（并开发了）Lambert W x F分布框架。 偏斜和重尾 Lambert W x F分布基于输入随机变量（RV）的非线性变换，以输出，与X相似，但偏斜和/或重尾（有关详细公式，请参阅论文）。ý 大号一米b ë ř 吨W¯¯ × $X \sim F$$Y ~ Lambert W \times F$

这通常适用于任何连续RV，但实际上，我们对高斯最为感兴趣。对于重尾Lambert W x F分布，该逆是双射的，可以使用您喜欢的估计器针对参数从数据进行估计（MLE，矩量法，贝叶斯分析，...）。对于并且X为高斯分布，它简化为Tukey的h分布。θ = （μ X，σ X，δ ，α ）α ＆equiv; $X \sim N(\mu, \sigma^2)$$\theta = (\mu_x, \sigma_x, \delta, \alpha)$$\alpha \equiv 1$

现在，作为数据转换，由于转换是双射的（对于偏斜情况几乎是双射的），并且可以使用Lambert的W函数（因此称为Lambert W x F）显式获得，因此这变得很有趣。这意味着我们可以从数据中消除偏斜度，也可以消除粗尾（双向！）。

您可以使用LambertW R软件包进行尝试，该手册显示了许多使用方法的示例。

对于应用程序，请参阅以下帖子

• 这些数据的分布是什么？：这充分说明了如何使用LambertW包将数据转换为R中的正态。
• 寻找一个分布，其中：均值= 0，方差可变，偏斜= 0，峰度可变
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