泰勒级数逼近（整个）函数的期望何时收敛？

对一些单变量随机变量和整个函数采取形式的期望（即，收敛区间为整个实线） $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

我有一个矩生成函数，因此可以轻松计算整数矩。在周围使用泰勒级数，然后将期望值应用于一系列中心矩截断该系列， $X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

我的问题是：在对随机变量什么条件（以及任何额外的 $f(\cdot)$ 以及）不期望收敛的逼近我添加条款（即 $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ ）。

由于在我的情况下似乎没有收敛（泊松随机变量和 $f(x) = x^{\alpha}$ ），在这些条件失败时，还有其他技巧可以用整数矩来寻找近似期望吗？

expected-value approximation

— 耶珀拉
source

在这里看到： stats.stackexchange.com/questions/70490/...

— 乔纳森

@乔纳森谢谢你。现在，我的修改变得更加清晰了。非常有用，尽管我无法完全破解。由此看来，要使之起作用的充分条件是我的随机变量高度集中吗？尽管我在准确地破解如何使用霍夫丁不等式与这些笔记进行比较时遇到麻烦。

— jlperla

您是什么意思“泊松随机变量且 ”？是一两种情况，pdf是什么？

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— 卡尔，

@Carl这是几年前的事了，但如果我记得，变量是，它带有来自en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution的 PDF格式的。这是我接手的期望的功能。即

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla

不知道你在问什么。关于Poisson分布的关于原点的较高矩是中的Touchard多项式：其中{大括号}表示第二种斯特林数？

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— 卡尔，

Answers:

根据的实数假设，几乎可以肯定（实际上肯定地）收敛到。 $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

的标准条件下其作为收敛意味着期望的收敛，即是该对于某些，使得。（支配收敛定理。）

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

如果幂级数绝对收敛，则该条件成立，即和

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

您的泊松随机变量和，表明，上述绝对极限准则的可积性通常是最弱的。 $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— 麦可
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-1

如果函数f（x）允许幂级数展开，即所有导数都存在，则近似值将收敛。如果特定阈值及以上的导数等于零，也将完全实现。您可以参考Populis [3-4]和Stark and Woods [4]。

— 麦尔班
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“如果特定阈值及以上的导数等于零，也将完全实现。” 如果导数存在并且等于零，这不是多项式的另一种说法吗？

— 累积

这不是真的。当幂级数展开时“所有导数都存在”时，幂级数不需要在任何地方收敛。（标准示例是的Maclaurin级数）另一个是，即使该级数确实在某个点收敛，也不需要在所有位置收敛。一个简单的例子是Maclaurin系列的发生这种情况时，收敛取决于随机变量的细节。例如，假设具有任何学生t分布，并考虑最终，甚至不存在！

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— ub