考虑到我们有z检验，为什么必须进行t检验？

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有人可以解释为什么t检验会“发生”吗？当您不知道总体标准偏差（即，您只知道样本的标准偏差）时，我被告知要使用t检验，但是我不确定为什么这会使它不同于z检验。

hypothesis-testing t-test

— 杰森博格德
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我已经更新了您的标题，以解决我认为您正在提出的问题；如果我误解了，请随时进行编辑

— Jeromy Anglim 2011年

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我认为我不完全理解您的问题。您是否在问为什么要使用t检验？

如果您了解为什么要使用z检验，那么应该对为什么要使用t检验有一个很好的了解。对于大样本，z检验和t检验应得出相似或相同的结果。但是，虽然z检验将采用正态分布，但t检验将考虑较小样本量时样本分布的不确定性。

— 本杰明·马可·希尔
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嗯，t检验也采用正态分布。也许您想说的是，我们需要的信息很少。

— JohnK

@JohnK我不认为说一个测试首先假设一个分布是有意义的，但是我认为Benjamin的意思是t分数/统计量假设为T分布而不是Z分布。

— Datoraki

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z检验本身实际上是假设无效假设的可能性与假设替代假设的可能性之间的似然比检验。假定具有已知方差的基础正态分布并且仅测试均值，则代数简化为我们知道和喜欢的z检验（DeGroot 1986，第442–447页）。

使用相同的最大似然法，但将方差视为未知数，会创建不同的似然对及其比率，然后让代数简化即可得出统计量：

\frac{\sqrt{ñ} （ {\bar{X}}_{ñ} - μ_{0} ）}{\sqrt{\frac{{小号}_{ñ}^{2}}{ñ - 1个}}}

$\frac{\sqrt{n}\left(\bar{X}_n - \mu_0\right)}{\sqrt{\frac{S^2_n}{n-1}}}$ （DeGroot 1986，第485–489页）。由于上述统计量的分子是正态分布的，因此相关的测试分布也会发生变化，

\bar{X}

$\bar{X}$ ，分母以法线平方的平方根分布，

S^{2}

$S^2$ ，这是卡方随机变量的平方根。Gosset（学生）表明，如果您有一个随机变量：

ÿ 〜 ñ （ 0 ， 1个 ） ž 〜 χ_{ñ}^{2} X 〜 \frac{ÿ}{\sqrt{\frac{ž}{ñ}}}

$Y \sim N(0, 1)\\ Z \sim \chi^2_n\\ X \sim \frac{Y}{\sqrt{\frac{Z}{n}}}$ 那么X随t分布和n个自由度分布。

因此，要不加严格地说，t检验是相同似然比过程的自然结果，当数据的方差本身未知并通过最大似然估计时，t检验就是z检验之后的结果。

DeGroot，MH概率与统计Addison-Wesley出版公司，1986年

— 阿夫拉罕
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这很有启发性。我完全忘记了t检验来自最大的可能性

— Moderat 2015年

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不严格的答案是，当样本数量较少时，您想使用t检验，这是因为样本异常靠近在一起（相对于实际总体方差）的可能性。在这种情况下，t统计量公式中的分母将异常小，因此t统计量本身将异常大。因此，在样本数量较少的情况下，您获得t统计量的值的可能性要比获得较大z统计量的可能性大，因此您需要更大的值才能拒绝使用在相同显着性水平下，t检验比z检验高。

— 埃文·赖特
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我认为该论点很吸引人，但经过反思，却没有说服力。毕竟，如果偶然地样本之间的距离异常地远（应该像异常地接近那样容易地发生），那么似乎完全相同的逻辑将得出相反的结论。

— ub

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根据经验法则，最重要的区别是样本大小：如果 $n$ 小于 $30$ 应该使用t检验，否则使用z检验。

此处详细介绍了这两种测试的基本假设和差异（和相似性）：http :
//www.le.ac.uk/bl/gat/virtualfc/Stats/ttest.html

— 冯吉德
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