如何计算两个法线均值之比的置信区间

我想为两个均值之比得出置信区间的限制。假设和是独立的，平均比。我试图解决：但在许多情况下（无根）无法求解该方程式。难道我做错了什么？有没有更好的方法？谢谢 $100(1-\alpha)\%$
$X_1 \sim N(\theta_1, \sigma^2)$ $X_2 \sim N(\theta_2, \sigma^2)$ $\Gamma = \theta_1/\theta_2$

Pr (- z (α / 2)) \leq X_{1} - Γ X_{2} / σ \sqrt{1 + γ^{2}} \leq z (α / 2)) = 1 - α

$\text{Pr}(-z(\alpha/2)) \leq X_1 - \Gamma X_2 / \sigma \sqrt {1 + \gamma^2} \leq z(\alpha/2)) = 1 - \alpha$

normal-distribution mean

— 弗朗哥雷克斯
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问题是来自两个正态分布的两个数之比遵循柯西分布，因此方差不确定。

@mbq-Cauchy分布对于置信区间没有问题，因为CDF是反正切函数。不需要定义差异以使配置项起作用。并且两个平均值为零的正常RV的比率为柯西，但不一定是两个平均值为非零的正常RV的比率。

— 概率

@probabilityislogic当然，我必须在周日上午停止尝试思考。

Answers:

Fieller的方法可以满足您的要求-计算两个均值的商的置信区间，这两个均假设是从高斯分布中采样的。

最初的引用是：Fieller EC：胰岛素的生物学标准化。提供给JR Statist Soc 1940，7：1-64。
在维基百科的文章做总结的一个好工作。
我创建了一个进行计算的在线计算器。
这是概述《直观生物统计学》第一版数学的页面

— 哈维·莫图尔斯基
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这是很好的参考资料，我也喜欢您实际上为此制作了一个计算器（+1）。但是，正如预期的那样，您在计算器中清楚地指出，当分母的置信区间包括零时，就不可能计算商的CI。我认为尝试求解二次方程式时会发生相同的情况。假设方差为1，mu1 = 0且mu2 = 1，N = 10000。这是无法解决的。

— francogrex 2011年

感谢在线计算器Harvey，我是一名典型的生物学家，统计学背景不足，您的计算器正是我所需要的。

— Timtico 2012年

很棒的计算器-正是我想要的。谢谢

— 亚历山大

@ harvey-motulsky附录的链接不再起作用。我想知道这个附录的材料是否包含在第三版《直观生物统计学》中？

— 加百利南部

@GabrielSouthern感谢您指出链接腐烂。固定。

— 哈维·莫图尔斯基

R具有mratios带功能的包装t.test.ratio。

Gemechis Dilba Djira，Mario Hasler，Daniel Gerhard和Frank Schaarschmidt（2011）。比率：一般线性模型中系数比率的推论。R软件包1.3.15版。 http://CRAN.R-project.org/package=mratios

另请参阅http://www.r-project.org/user-2006/Slides/DilbaEtAl.pdf

— 亚历山德罗·贾科普森（Alessandro Jacopson）
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另外，如果您不想使用不计算Fieller的置信区间mratios（通常是因为您不希望使用简单的lm拟合，而是希望使用glmer或glmer.nb拟合），则可以使用以下FiellerRatioCI函数，对模型的输出进行建模， aname分子参数的名称，bname分子参数的名称。您也可以直接使用FiellerRatioCI_basic函数，给出a，b以及a和b之间的协方差矩阵。

请注意，此处的alpha为0.05，并在代码中“硬编码”为1.96s。您可以将其替换为您喜欢的任何学生级别。

FiellerRatioCI <- function (x, ...) { # generic Biomass Equilibrium Level
    UseMethod("FiellerRatioCI", x)
}
FiellerRatioCI_basic <- function(a,b,V,alpha=0.05){
    theta <- a/b
    v11 <- V[1,1]
    v12 <- V[1,2]
    v22 <- V[2,2]

    z <- qnorm(1-alpha/2)
    g <- z*v22/b^2
    C <- sqrt(v11 - 2*theta*v12 + theta^2 * v22 - g*(v11-v12^2/v22))
    minS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 - z/b * C)
    maxS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 + z/b * C)
    return(c(ratio=theta,min=minS,max=maxS))
}
FiellerRatioCI.glmerMod <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[aname]))
    b<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[bname]))
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}
FiellerRatioCI.glm <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a <- coef(model)[aname]
    b <- coef(model)[bname]
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}

示例（基于标准的glm基本示例）：

 counts <- c(18,17,15,20,10,20,25,13,12)
 outcome <- gl(3,1,9)
 treatment <- gl(3,3)
 glm.D93 <- glm(counts ~ outcome + treatment, family = poisson())

 FiellerRatioCI(glm.D93,"outcome2","outcome3")

ratio.outcome2            min            max 
      1.550427      -2.226870      17.880574

— 康巴布
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