插值的统计依据是什么？

假设我们有两个点（下图：黑色圆圈），并且我们想在它们之间找到第三个点的值（十字）。实际上，我们将根据实验结果（黑点）对其进行估算。最简单的情况是画一条线然后找到该值（即线性插值）。如果我们有支持点，例如，两侧都有棕色点，我们希望从中受益并拟合非线性曲线（绿色曲线）。

问题是，将红十字标记为解决方案的统计推理是什么？为什么其他十字架（例如黄色十字架）在可能的地方没有答案？什么样的推论或（？）促使我们接受红色的？

我将基于针对这个非常简单的问题的答案来提出我的原始问题。

任何形式的函数拟合，甚至是非参数函数拟合（通常对所涉及曲线的平滑度进行假设），都涉及假设，因此会产生信心飞跃。

线性插值的古老解决方案是，当您拥有的数据细粒度“足够”时（如果您看一个足够近的圆，它看起来也很平坦-只要问哥伦布）就可以“正常工作”，甚至是可行的在计算机时代之前（许多现代样条解决方案并非如此）。假设相信函数将在两点之间“以相同（即线性）事物继续”是合理的，但是没有先验的理由（除非对现有概念有所了解）。

当您具有三个（或更多）非共线点时（例如在上面添加了棕色点时），很快就会很清楚，它们之间的线性插值很快就会涉及到每个中的尖角，这通常是不希望的。那就是其他选项进入的地方。

但是，如果没有更多领域的知识，就无法确定一个解决方案比另一个解决方案要好（为此，您将不得不知道其他要点的价值，这将使该功能适合于该解决方案的目的被破坏了）。第一名）。

从好的方面来看，在“规则性条件”下（也许与您的问题更相关）（请阅读：假设：如果我们知道函数是平滑的），那么线性插值和其他流行的解决方案都可以证明是“合理的”近似值。不过：这需要假设，对于这些假设，我们通常没有统计数据。

您可以计算出最适合的直线的线性方程（例如y = 0.4554x + 0.7525），但是，只有在标记了轴的情况下，该方程才有效。但是，这不会给您确切的答案，而只是相对于其他方面最合适的答案。