如何测试协方差矩阵在两个时间点上是否发生了变化？

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我的任务是测试6个变量的协方差矩阵是否有变化。从同一受试者两次测量6个变量的值（两次测量之间为3年）。

我怎样才能做到这一点？我一直在使用SAS完成大部分工作。

— 珍妮
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谢谢您的回答。我当时在想Box M，但是我不确定它是否适用于重复测量。不得不拿那本伦彻的书。我非常确定可以使用嵌套模型比较，例如SAS的proc混合。不过，谢谢！我是新来的，希望有一天我也能提供一些答案：o）

— Janne

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— mpiktas，2011年

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假设您的分布是多元正态分布（因为协方差矩阵的检验无论如何都倾向于假定这一假设），则零假设是两个总体仅因移位而不同。您可以使用Kolmogorov-Smirnov检验对减去了均值的两组数据进行检验。

Rencher（2002）（第7.3.2节）提供了似然比检验统计量，用于比较两个矩阵（Box M检验），如下所示：

M = | S_{1} |^{ν_{1} / 2} | S_{2} |^{ν_{2} / 2} / | S_{p} |^{(ν_{1} + ν_{2}) / 2}

$M=|S_1|^{\nu_1/2} |S_2|^{\nu_2/2}/|S_p|^{(\nu_1+\nu_2)/2}$

其中和是两个样本中的样本协方差矩阵，是合并的协方差矩阵，和是自由度（样本大小减去1）。渐近地，遵循分布，具有个自由度，其中是矩阵的大小。Rencher（2002）还给出了测试的Bartlett校正版本和近似值。但是，这是两次抽样测试，而不是重复测量测试，因此可能有些保守。 $S_1$ $S_2$ $S_p$ $\nu_1$ $\nu_2$ $-2\log M$ $\chi^2$ $p(p+1)/2$ $p$ $F$

— 斯塔克
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如果分布不是多元正态分布，那么使用Box的协方差矩阵同质性M检验的替代方法是什么？

— 尼克

我会说这是不适用的。要使似然比适用，一切都必须正常。否则，您将不得不基于矩的统计信息，然后您需要四阶矩才能获得协方差的协方差。

— StasK

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您可以使用结构方程建模软件。这是该过程如何在Amos中工作的示意图：

将时间1（）和时间2（）的所有变量 $X1, ..., X_6$ $Y_1, ..., Y_6$
在所有变量之间绘制双向箭头（即，您要让软件知道所有方差和协方差都可以自由变化，因此，您的模型应该完美地表示数据）
列出所有方差和协方差
上面是模型1（即没有相等约束）
然后将等式语句添加到模型2中（即，方差和协方差受约束）
- 在不同时间点对应变量的均等方差：例如，var_x1 = var_y1 var_x2 = var_y2依此类推
- 对应时间点的协方差相等：例如，cov_x1_x2 = cov_y1_y2 cov_x1_x3 = cov_y1_y3依此类推
检查两个模型之间的拟合差异
- 模型2嵌套在模型1中，因此您应该能够使用嵌套模型比较测试，例如卡方差检验。

— 杰罗米·安格利姆
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这可能可以用proc混合测试（好，您必须假设多元正态性）。将所有数据堆叠在一列上。然后，您需要指示主题ID和时间点的指示器。您必须将主题ID和时间点指示符都定义为类变量。拟合仅拦截模型；然后使用重复的语句来拟合无约束的方差/协方差结构（type=un）。写下，其中是可能性）和自由度。然后拟合第二个模型，但是这次在重复的语句中，使用该选项为每个时间点（即每个时间点是一组）拟合单独的协方差结构。写下 $-2\ln(\mathcal{L})$ $\mathcal{L}$ group=SAS $-2\ln(\mathcal{L})$ 和df。然后，使用两个模型之间的-2对数似然和dfs的差异进行LRT检验，以证明拟合度没有差异。在两个模型之间拟合度没有差异的零假设下，该分布应卡方分布。

— 安德烈斯
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— 彼得·弗洛姆