x在正态分布中的期望值（假设它小于某个值）

只是想知道是否有可能找到x的期望值（如果它是正态分布的），因为它小于某个值（例如，低于平均值）。

normal-distribution conditional-probability expected-value

— 茉莉花
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当然有可能。至少可以用蛮力。或者，如果您知道和，则可以使用模拟进行估算。

F (t)^{- 1} \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(t)^{-1} \int_{- \infty}^{x} t f(t) dt$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— dsaxton

@dsaxton该公式中有一些错别字，但我们明白了。我很好奇的是，当阈值远低于平均值时，您将如何精确地运行模拟。

— ub

@whuber是的，应该是。当接近零时进行模拟并不是很聪明，但是正如您指出的那样，总有一个精确的公式。

F (t)

$F(t)$

F (x)

$F(x)$

F (x)

$F(x)$

— dsaxton，2015年

@dsaxton好的，很公平。我只是希望您能想到一些聪明而简单的想法，以便从正态分布的尾部进行模拟。

— ub

Math.SE中或多或少相同的问题：math.stackexchange.com/questions/749664/average-iq-of-mensa

— JiK 2015年

Answers:

具有均值和方差正态分布变量与具有相同的分布，其中是标准正态变量。您需要了解的就是 $X$ $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma Z + \mu$ $Z$ $Z$

其累积分布函数称为， $\Phi$
它有一个概率密度函数，并且 $\phi(z) = \Phi^\prime(z)$
$\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$ 。

前两个项目符号只是符号和定义：第三个项目符号是我们将需要的正态分布的唯一特殊属性。

让“一定值”是。预期从到的变化，定义 $T$ $X$ $Z$

t = (T - μ) / σ,

$t = (T-\mu)/\sigma,$

以便

Pr (X \leq T) = Pr (Z \leq t) = Φ (t) .

$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$

然后，从条件期望的定义开始，我们可以利用其线性来获得

\begin{aligned} E (X | X \leq T) & = E (σ Z + μ | Z \leq t) = σ E (Z | Z \leq t) + μ E (1 | Z \leq t) \\ = (σ \int_{- \infty}^{t} z ϕ (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} ϕ (z) d z) / Pr (Z \leq t) \\ = (- σ \int_{- \infty}^{t} ϕ^{'} (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} Φ^{'} (z) d z) / Φ (t) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$

微积分的基本定理断言，通过评估端点处的函数可以找到导数的任何积分：。这适用于两个积分。因为和必须在处消失，所以我们得到 $\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$ $\Phi$ $\phi$ $-\infty$

E (X | X \leq T) = μ - σ \frac{ϕ (t)}{Φ (t)} .

$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$

它是原始均值减去与Inverse Mills Ratio成反比的校正项。

如我们所料，的逆Mills比率必须为正且超过（其图以红色虚线显示）。随着增大，它必须减小到，这样（或）处的截断几乎不变。当变得非常负时，逆Mills比率必须接近因为正态分布的尾部下降得如此之快，以至于左尾部中几乎所有的概率都集中在其右侧附近（在）。 $t$ $-t$ $0$ $t$ $Z=t$ $X=T$ $t$ $-t$ $t$

最后，当为平均值时，，其中Mills逆比等于。这意味着的期望值以其均值（半正态分布的负数）被截断，是乘以其标准差（低于原始均值）。 $T = \mu$ $t=0$ $\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$ $X$ $-\sqrt{2/\pi}$

— ub
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通常，让具有分布函数。 $X$ $F(X)$

对于，我们有您可以通过采用来获得特殊情况，得到。 $x\in[c_1,c_2]$

\begin{array}{rcl} P （ X \leq X | C_{1个} \leq X \leq C_{2} ） & = & \frac{P （ X \leq X \cap C_{1个} \leq X \leq C_{2} ）}{P （ C_{1个} \leq X \leq C_{2} ）} = \frac{P （ C_{1个} \leq X \leq X ）}{P （ C_{1个} \leq X \leq C_{2} ）} \\ = & \frac{F （ X ） - F （ C_{1个} ）}{F （ C_{2} ） - F （ C_{1个} ）} \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$

c_{1} = - \infty

$c_1=-\infty$

F (c_{1}) = 0

$F(c_1)=0$

使用条件cdfs，您可以获得条件密度（例如，对于，），该密度可用于条件期望值。 $f(x|X<0)=2\phi(x)$ $X\sim N(0,1)$

在您的示例中，按部分积分得到就像@whuber的答案一样。

Ë （ X | X < 0 ） = 2 \int_{- \infty}^{0} X ϕ （ X ） = - 2 ϕ （ 0 ） ，

$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$

— 克里斯多夫·汉克
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+1（以某种方式第一次出现时我错过了它）。第一部分很好地说明了如何获取截断的分布函数，第二部分展示了如何计算其PDF。

— ub