考虑到一个具有上限的变量，应使用哪种类型的回归？

9

我不确定要使用哪种方法来建模两个变量之间的关系（ $x$ 和 $y$ ）在实验中的描述如下：

有3个变量： $x_{aim}$ ， $x$ 和 $y$ 。
的价值 $x_{aim}$ 在进行实验时设置。然而， $x$ 和 $x_{aim}$ 并不总是相等的。
皮尔逊之间的相关系数 $x_{aim}$ 和 $x$ 大约是0.9。
皮尔逊之间的相关系数 $x$ 和 $y$ 少得多：约0.5。
$y$ 具有最大可能值（ $y_{max}$ ），不能超过。
设置后获取每个数据点 $x_{aim}$ 和阅读 $x$ 和 $y$ 。

虽然皮尔逊之间的相关系数 $x$ 和 $y$ 不好，看起来像 $y$ 倾向于随着 $x$ 。

在进行简单的线性回归之后 $y=f(x)$ 和 $x=g(y)$ （然后将后者转换为 $g^{-1}$ ，以便与 $f$ 例如），两个斜率均为正，但 $g^{-1}$ 大于 $f$ 。

说出来有意义吗 $x_{max} = f^{-1}(y_{max})$ 要么 $x_{max} = g(y_{max})$ ？（ $x_{max}$ 在第二种情况下会更早到达。）

考虑到 $y$ 被束缚 $y_{max}$ ，关于的可能最大值 $x$ 可以达到？

据我了解，对形式进行线性回归是有意义的 $y=f(x)$ 什么时候 $x$ 是自变量， $y$ 是因变量。但是，在这种情况下，我不确定考虑一下是否有意义 $x$ 是独立的 $y$ 是依赖的。

总最小二乘回归是否更合适？还有其他方法来确定哪些值 $x_{max}$ 可以达到（有什么可能性）？

（如果这很重要， $x$ 和 $y$ 似乎不遵循正态分布，因为已经进行了更多尝试以达到更高的 $x$ ）

regression correlation

— 布鲁诺
source

如果找到这种关系，您将如何处理？您会检验假设还是只是对它的外观感兴趣？如果数据点很多，则应考虑非线性模型。

— mpiktas，2011年

@mpiktas，最终，我想知道哪个x_max是我可以尝试定期（而不是一次）尝试的合理目标，考虑到达到或超过y_max会使实验无效（有效地暗示x = x_min进行尝试）。

— 布鲁诺

当的方差为时，表示总的最小二乘（或变量误差）回归

x

$x$ 相较于

y

$y$ 。与90％的相关性

x_{aim}

$x_\text{aim}$ 表明的方差

x

$x$ 可能足够小，可以安全地将其视为自变量。您可以通过比较残差的RMSE来检查回归后的情况

x_{aim}

$x_\text{aim}$ 与

x

$x$ 的残差的RMSE

y

$y$ 与

x_{aim}

$x_\text{aim}$ 。是否

y_{max}

$y_\text{max}$ 问题取决于如果您在散点图中看到一个较高的截止

x_{aim}

$x_\text{aim}$ ，这是一个重要的考虑因素。

— ub

4

我想第二点@King的观点。怀疑回归是非常直观的 $y$ 到 $x$ （“直接回归”）和回归 $x$ 到 $y$ （“反向回归”）应该相同。但是，这在数学上既不正确，在回归与您正在分析的情况之间的关系方面也不是正确的。如果你密谋 $y$ 在图的垂直轴上 $x$ 在水平轴上，您可以看到发生了什么。直接回归找到的线使数据点和线之间的垂直距离最小，而反向回归使的线水平距离最小。最小化一条线的线只会在以下情况下最小化另一条线 $r_{xy}=1.0$ 。您需要确定要解释的内容以及要用来解释的内容。该问题的答案为您提供了哪个变量是 $y$ 和 $x$ 并指定您的模型。此外，（同样在@King之后），我不同意尝试说 $x_{max}=f^{-1}(y_{max})$ ，出于相同的原因。

关于有界变量的问题，通常可以想象，“实际”金额可能会更高，但您无法衡量。例如，我窗外的室外温度计最高可达120，但在某些地方它可能是室外140，而您的测量值只有120。因此，变量将具有上限，但您真正想考虑的事情却没有。在这种情况下，仅存在针对此类情况的轨道模型。

另一种方法是使用像黄土这样更坚固的东西，这可能完全适合您的需求。

— gung-恢复莫妮卡
source

抱歉，我们未收到您的答复。我需要阅读有关Tobit模型的信息。

— 布鲁诺

没问题。有关回归本质（相对于反向回归）的更多信息，请参见此处。对于使用各种软件进行轨道回归的帮助，请在此处尝试。

— gung-恢复莫妮卡

3

首先，我认为说不通 $x_{max}=f^{-1}(y_{max})$ 在这里，这就像在暗示它是一对一的功能，尽管 $x_{max}$ 由其他未观察到的变量解释。

其次，它实际上取决于将上下文视为自变量或因变量的上下文。根据我的经验，除非理论有力地提出一种方法；两种方法都可以。从10月7日的评论看来， $x$ 是依赖而 $y$ 是独立的。

如果可能，查看残差，看看是否可以从中挤出任何东西。您可能还忘记了另一个变量。否则可能有助于转换变量。

— 国王
source