二项式分布的估计量

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我们如何定义来自二项分布的数据的估计量？对于bernoulli，我可以想到一个估计器来估计参数p，但是对于二项式，当我们对分布进行特征化时，我看不到要估计哪些参数？

更新：

估计量是指观测数据的函数。估计器用于估计生成数据的分布的参数。

estimation binomial

— 罗希特·班加（Rohit Banga）
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您对“估算器”的理解是什么？我对此感到疑惑，因为估计量没有“参数”。这让我担心，您没有清楚地传达您的问题。也许您可以给出您正在考虑的实际情况的具体示例。

— ub

@whuber添加了更多信息。如果您要我添加更多详细信息，或者我的理解有误，请告诉我。

— 罗希特·邦加

该编辑是正确的，但是一个具体示例仍然会有所帮助。在二项式分布的许多应用中，

不是一个参数：它是给定的，而

是唯一要估计的参数。例如，在

独立的相同分布的Bernoulli试验中，成功计数

具有二项式（

，

）分布，唯一参数

一个估计量是

。

n

$n$

p

$p$

k

$k$

n

$n$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

k / n

$k/n$

— Whuber

2

我希望看到一个示例，即使是人为的示例，也可以估计

和

（在频繁出现的情况下）。想想看：您观察到单个计数k，说

。我们期望

大约等于

。那么我们是否估计

，

？或

，

？或几乎其他任何东西？:-)还是建议您可能有一系列独立的观测值

n

$n$

p

$p$

k = 5

$k=5$

k

$k$

n p

$n p$

n = 10

$n=10$

p = 0.5

$p=0.5$

n = 5000

$n=5000$

p = 0.001

$p=0.001$

全部来自一个未知的

和

的共同二项式

分布？

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

$k_1, k_2, \ldots, k_m$

(n, p)

$(n,p)$

p

$p$

n

$n$

— Whuber

1

我建议后者-p和n均未知。我想要n和p的估计量是N个观察到的数据点的函数。

— 罗希特·邦加

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我猜您正在寻找的是概率生成函数。在下面的公式中可以找到二项式分布的概率生成函数的推导

http://economictheoryblog.com/2012/10/21/binomial-distribution/

但是，尽管我不得不说可以改进二项式的规范，但如今看维基百科始终是一个好主意。

https://zh.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#规格

— 证明高斯
source

1

每个发行版都有一些未知参数。例如，在伯努利分布中，有一个未知的参数成功概率（p）。同样，在二项分布中有两个未知参数n和p。这取决于您的目标，您想估计哪个未知参数。您可以固定一个参数并估计另一个参数。欲了解更多信息，请参阅本

— 爱情统计
source

如果我想估计两个参数怎么办？

— 罗希特·邦加

1

为了进行最大似然估计，您必须对相关参数采用似然函数的导数，并将该方程式等价为零，然后求解该方程式。我的意思是说该过程与您估算“ p”时所执行的过程相同。您必须对'n'做同样的事情。检查一下这个www.montana.edu/rotella/502/binom_like.pdf

— love-stats

p

$p$

N

$N$

0

$0$

1

$k_1, \dots, k_m \sim \text{iid binomial}(n, p)$

$\bar{k} = \hat{n}\hat{p}$ $s_k^2 = \hat{n}\hat{p}(1-\hat{p})$ $\hat{n}$ $\hat{p}$

或者您可以计算MLE（也许只是数字形式），例如optim在R中使用。

— 卡尔
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p < 1 / 2

$p \lt 1/2$

s^{2} / \bar{k} > 1

$s^2/\bar{k} \gt 1$

@whuber-他没有要求一个好的估算者。;）

— Karl

1

\hat{n}

$\hat{n}$

\hat{p} = 1 / 2

$\hat{p}=1/2$

n p

$np$

\hat{n} \approx max k_{i}

$\hat{n} \approx \max k_i$

没错：特别是当接近，计数的最大值是MLE。如您所想，在这种情况下，它运行得很好。对于较小的，即使有大量数据，也很难将其与泊松分布区分开，泊松分布的实际上是无限的，从而导致的估计值具有极大的不确定性。

p

$p$

1

$1$

p

$p$

n

$n$

n

$n$

— Whuber

0

我认为我们可以使用矩估计方法通过均值和方差来估计二项式分布的参数。

使用力矩估计方法估计参数和。[{\ hat {p}} _ n = \ frac {\ overline {X} -S ^ 2} {\ overline {X}}] [\ hat {m} _n = \ frac {\ overline {X} ^ 2} {\ overline {X} -S ^ 2}]证明矩方法的参数和的估计量是方程组因此，我们的矩量法公式为：[\ overline {X} = mp] [S ^ 2 = mp（1-p）。] $p$ $m$ $m$ $p$

m p = \bar{X}, m p (1 - p) = S^{2} .

$mp =\bar{X},\quad mp(1-p) = S^2.$

简单的算法显示：[S ^ 2 = mp \ left（1-p \ right）= \ bar {X} \ left（1-p \ right）] [S ^ 2 = \ bar {X}-\ bar {X } p] [\ bar {X} p = \ bar {X} -S ^ 2，\ mbox {因此} \ hat {p} = \ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X }}。]然后，[\ bar {X} = mp，\ mbox {即} m \ left（\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ right）] [\ bar {X} = m \ left（\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ right），\ mbox {或} \ hat {m} = \ frac {\ bar {X} ^ 2} {\ bar {X} -S ^ 2}。]

— 萨尔玛
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1

如果您可以对此进行扩展，例如通过编写MoM估算器的公式，那将是很好的。否则，答案就不完整。其他人（尚不知道答案的人）将不得不在线搜索“片刻的方法”等，直到找到真正的答案。

— jbowman

有没有办法在这里正确地呈现数学？

— David Refaeli