带身份链接的OLS与Poisson GLM

我的问题表明我对泊松回归和GLM总体上了解不足。以下是一些虚假数据来说明我的问题：

### some fake data
x=c(1:14)
y=c(0,  1,  2,  3,  1,  4,  9, 18, 23, 31, 20, 25, 37, 45)

一些返回psuedo-R2的自定义函数：

### functions of pseudo-R2

psuR2 <- function(null.dev, model.dev) { 1 - (model.dev / null.dev)}

predR2 <- function(actuals, predicted) { 1 - (sum((actuals - predicted)^2)) / sum((actuals - mean(actuals))^2)}

适合四种模型：OLS，带身份链接的高斯GLM，带日志链接的Poisson GLM，带身份链接的Poisson GLM

#### OLS MODEL
mdl.ols=lm(y~x)
summary(mdl.ols)
pred.ols = predict(mdl.ols)

summary(mdl.ols)$r.squared
predR2(y, pred.ols)

#### GLM MODEL, family=gaussian(link="identity")
mdl.guass <- glm(y~x, family=gaussian(link="identity"), maxit=500)
summary(mdl.guass)
pred.guass = predict(mdl.guass)

psuR2(mdl.guass$null.deviance, mdl.guass$deviance)
predR2(y, pred.guass)

#### GLM MODEL, family=possion (canonical link)
mdl.poi_log <- glm(y~x, family=poisson(link="log"), maxit=500)
summary(mdl.poi_log)
pred.poi_log= exp(predict(mdl.poi_log))  #transform

psuR2(mdl.poi_log$null.deviance, mdl.poi_log$deviance)
predR2(y, pred.poi_log)

#### GLM MODEL, family=poisson((link="identity")
mdl.poi_id <- glm(y~x, family=poisson(link="identity"), start=c(0.5,0.5), maxit=500)
summary(mdl.poi_id)
pred.poi_id = predict(mdl.poi_id)

psuR2(mdl.poi_id$null.deviance, mdl.poi_id$deviance)
predR2(y, pred.poi_id)

最后绘制预测：

#### Plot the Fit
plot(x, y) 
lines(x, pred.ols)
lines(x, pred.guass, col="green")
lines(x,pred.poi_log, col="red")
lines(x,pred.poi_id, col="blue")

我有两个问题：

1. 看起来，来自具有身份链接的OLS和高斯GLM的系数和预测是完全相同的。这始终是真的吗？

2. 我对OLS的估计和预测与带有身份链接的Poisson GLM完全不同感到非常惊讶。我认为这两种方法都将尝试估算E（Y | X）。当我将身份链接用于Poisson时，似然函数是什么样的？

1. 是的，他们是同一回事。高斯的MLE是最小二乘，因此当您使用身份链接执行高斯GLM时，您正在执行OLS。

2. a）“ 我认为这两种方法都将尝试估算E（Y | X） ”

   的确确实如此，但是根据数据估计条件期望的方式并不相同。即使我们忽略了分布（因此也就不考虑数据如何输入似然性），而仅根据均值和方差来考虑GLM（好像只是加权回归），泊松方差也随均值而增加，因此观测的相对权重会有所不同。

   b）“ 当我使用Poisson的身份链接时，似然函数是什么样的？ ”

   $\mathcal{L}(\beta_0,\beta_1) = \prod_i e^{-\lambda_i}\lambda_i^{y_i}/y_i!$

   $\qquad\qquad\,=\exp(\sum_i -\lambda_i+{y_i}\log(\lambda_i)-\log{(y_i!)}\,)\quad$其中$\lambda_i=\beta_0+\beta_1 x_i$

   $\qquad\qquad\,=\exp(\sum_i -(\beta_0+\beta_1 x_i)+{y_i}\log(\beta_0+\beta_1 x_i)-\log{(y_i!)}\,)$