没有长尾的重尾分布示例

通过阅读有关重尾和长尾分布的信息，我了解到所有长尾分布都是重尾分布，但并非所有重尾分布都是长尾分布。

有人可以提供以下示例：

连续的，对称的，平均零密度的长尾函数
一个连续的，对称的，平均密度为零的函数，该函数重尾但不长尾

这样我可以更好地理解它们定义的含义？

如果两者都可以具有单位方差，那就更好了。

distributions heavy-tailed

— 托利维拉
source

您在哪里找到这些定义？你能给他们吗？我认为这些是同义词！

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen：也许这里：en.wikipedia.org/wiki/...

— Scortchi -恢复莫妮卡

@kjetilbhalvorsen SA：参见链接E。LA：我正在研究“重”，“胖”和“长尾”分布的定义，并在以下位置找到了有用的解释：（A）[ stats.stackexchange.com/问题/ 10726 / ...，（B）[ en.wikipedia.org/wiki/Heavy-tailed_distribution] ，（C）[ users.cms.caltech.edu/~adamw/papers/...，（续）

— toliveira

（续）（E）math.stackexchange.com/questions/685921/…我理解（i）重尾分布定义为A，B，C，D，E，（ii）定义了长尾分布如在B，C，E（III）的脂肪尾是松散的，定义如在A.解释

— toliveira

这两个定义很接近，但并不完全相同。一个差异在于生存率必须有一个极限。

对于大多数这个答案，我将忽略连续，对称和有限方差分布的准则，因为一旦我们发现了任何不长尾的有限方差重尾分布，这些准则就很容易实现。

对于任何，分布都是重尾的。 $F$ $t\gt 0$

\begin{matrix} (1) & \int_{R} e^{t x} d F (x) = \infty . \end{matrix}

$\int_\mathbb{R} e^{t x} dF(x) = \infty.\tag{1}$

与生存函数的分配是长尾时 $G_F = 1-F$

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to \infty} \frac{G_{F} (x + 1)}{G_{F} (x)} = 1. \end{matrix}

$\lim_{x\to \infty} \frac{G_F(x+1)}{G_F(x)} = 1.\tag{2}$

长尾分布很重。此外，由于不增加，所以比率的极限不能超过。如果存在且小于，则呈指数下降-这将使积分收敛。 $G$ $(2)$ $1$ $1$ $G$ $(1)$

因此，显示不是长尾分布的重尾分布的唯一方法是修改长尾分布，以使继续保持不变，而违反。设定限制很容易：在无穷大的许多地方更改它。不过，这将需要对进行一些处理，但必须保持和cadlag不变。一种方法是在引入一些向上跳跃，这将使向下跳跃，从而降低比率。为此，让我们定义一个转换，它将变成另一个有效的分布函数，同时在值处突然跳变。 $(1)$ $(2)$ $F$ $F$ $G$ $G_F(x+1)/G_F(x)$ $T_u$ $F$ $u$ ，说跳中途从，以： $F(u)$ $1$

T_{u} [F] (x) = {\begin{cases} F (x) & u < x \\ \frac{1}{2} (1 - F (x)) + F (x) & u \geq x \end{cases}

$T_u[F](x) = \begin{cases} F(x) & u<x \\ \frac{1}{2} (1-F(x))+F(x) & u\geq x \end{cases}$

这不会改变基本属性：仍然是分布函数。 $F$ $T_u[F]$

对的影响是使其在处下降倍。因此，由于不递减，所以每当， $G_F$ $1/2$ $u$ $G$ $u-1 \le x \lt u$

\frac{G_{T_{u} [F]} (x + 1)}{G_{T_{u} [F]} (x)} \leq \frac{1}{2} .

$\frac{G_{T_u[F]}(x + 1)}{G_{T_u[F]}(x )} \le \frac{1}{2}.$

如果我们选择的递增和发散序列，并依次应用每个，则它将确定分布序列其中并且 $u_i$ $i=1, 2, \ldots$ $T_{u_i}$ $F_i$ $F_0=F$

F_{i + 1} = T_{u_{i}} [F_{i}]

$F_{i+1} = T_{u_i}[F_i]$

因为。在步骤对于都保持相同。因此，序列是分布函数的一个递减的，有界的点序列，这意味着它的极限 $i \ge 1$ $i^\text{th}$ $F_i(x), F_{i+1}(x), \ldots$ $x\lt u_i$ $F_i(x)$

F_{\infty} = lim_{i \to \infty} F_{i}

$F_\infty = \lim_{i\to\infty} F_i$

是分布函数。 从结构上讲，它不是长尾的，因为它的生存率无限多降到或更低，显示它不能有个限制。 $G_{F_\infty}(x+1)/G_{F_\infty}(x))$ $1/2$ $1$

该图显示了生存函数，该函数已以这种方式在注意对数垂直轴。 $G(x) = x^{-1/5}$ $u_1 \approx 12.9, u_2 \approx 40.5, u_3 \approx 101.6, \ldots.$

希望能够选择以使保持重尾。我们知道，由于是重尾的，因此存在的数字 $(u_i)$ $F_\infty$ $F$ $0 = u_0 \lt u_1 \lt u_2 \lt \cdots \lt u_n \cdots$

\int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F (x) \geq 2^{i - 1}

$\int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF(x) \ge 2^{i-1}$

每。右边的原因是分配给值的概率已被连续减半次。对于任意，用替换时，该过程会将减小为，但不会更低。 $i \ge 1$ $2^{i-1}$ $F$ $u_i$ $i-1$ $dF(x)$ $dF_{j}(x)$ $j\ge i$ $2^{i-1}$ $1$

这是对应于先前生存函数及其“缩减”版本的密度的的图。该曲线下的面积有助于预期。从到的面积是；从区域到是，当其向下切割（到下蓝色部分）成为的区域 ; 从到的面积为，当被切下时该面积为，依此类推。因此，右侧每个连续“阶梯”下方的面积为。 $x f(x)$ $f$ $1$ $u_1$ $1$ $u_1$ $u_2$ $2$ $1$ $u_2$ $u_3$ $4$ $1$ $1$

让我们选择一个序列来定义。我们可以通过为某个整数选择并应用构造来检查它是否仍然是重尾的： $(u_i)$ $F_\infty$ $t=1/n$ $n$

\begin{aligned} \int_{R} e^{t x} d F_{\infty} (x) & = \int_{R} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{i} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} 1, \end{aligned}

$\eqalign{ \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_\infty(x) &=\int_\mathbb{R} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_i(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty 1, }$

仍然有分歧。由于任意小，这表明即使的长尾属性已被破坏，它仍然是重尾的。 $t$ $F_\infty$

这是缩减分布的生存率的图。像原来的比率，它趋向的上累积值 -但为单位宽度的间隔在终止，比值突然下降到只有一半的什么它最初被。这些下降，尽管随着增加而变得越来越不频繁，却无限频繁地发生，因此阻止了比率在极限值附近接近。 $G(x+1)/G(x)$ $G$ $1$ $u_i$ $x$ $1$

如果您想要一个连续的，对称的，均值为零的单位方差示例，请从有限方差长尾分布开始。如果，（对于）将。如果自由度超过学生t分布也会如此。的矩不能超过的矩，因此它也具有有限的方差。通过卷积以良好的平滑分布（例如高斯）“平化”它：这将使其连续，但不会破坏其重尾巴（显然），也不会长尾巴的缺失（不太明显，但是如果您可以将高斯型更改为支持紧凑的Beta版）。 $F(x) = 1 - x^{-p}$ $x \gt 0$ $p \gt 1$ $2$ $F_\infty$ $F$

对称化的结果-我还是会打电话给 -截至定义 $F_\infty$

F_{s} (x) = \frac{1}{2} (1 + sgn (x) F_{\infty} (| x |))

$F_s(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(x) F_\infty(|x|)\right)$

对于所有。它的方差将保持有限，因此可以将其标准化为所需的分布。 $x\in\mathbb{R}$

— ub
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精彩地解释。您不仅提供了一个例子，还提供了理由。解释的清晰性使我（几乎）理解了全部内容。我将在一些数字示例中进行练习。

— toliveira